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対偶命題

 例えば、写像の単射の定義で、f(x) = f(y) ⇒ x = y というのがある。これが真だとすると、その対偶をとって、x ≠y ⇒ f(x) ≠ f(y) も、真である。
 それなら、この命題は、どうであろうか。
「叱られないと勉強しない。」
 これの対偶?をとると、「勉強すると、叱られる。」で、レレレということになる。
 これは、今月号数学セミナーにあった例であるが、要するに、「叱られないと勉強しない。」は、時間の入った因果関係なので、論理関係ではないのだという。すなわち、叱られない、ということで、その結果、勉強しないで遊ぶ、ということになる。では、ついでに、「叱られないと勉強しない。」から、「叱られると勉強する。」が導き出せるのか、というと、叱り方によるだろうし、人にもよるだろう。また、「叱られないと勉強しない。」が真だとして、依然として、「勉強すると、叱られる。」という命題を否定している訳でもない。
 よって、時間が入った因果関係の命題は、とても扱いにくい。
 ところで、よく日本語は論理的でなく、英語は論理的である、と言われるが、実は、自然言語で書かれた命題には、上記のことも含めて、本質的な曖昧性があり、英語だ日本語だ、という問題ではない。
 では、記号で書けばいいかというと、「クレタ人は皆嘘つきである。」のパラドックスがあり、ラッセルのタイプ理論などを駆使しなくては、矛盾を解消できない。このように、論理の問題は本質的であって、簡単ではない。

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2007年7月20日 12:56に投稿されたエントリーのページです。

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