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ポアンカレ予想

今月号の数学セミナーに、ポアンカレ予想の小特集があったので、自分のメモもかねて纏めてみる。ポアンカレ予想はもともと、1904年、いまから100年以上も前に、ポアンカレによって「3次元球面は、基本群とホモロジー群により特徴づけ可能であろう」と予想されたことから始まる。

これは数学的に、「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面に同相であろう」と等価である。このようにポアンカレ予想は、3次元から始まったが、これを高次元に拡張してみたいのは人情だろう。すなわち、「単連結なn次元閉多様体は、n次元球面に同相であろう」である。そして、高次元の方が難しいだろう、と思うのものまた、人情である。

ところが、である、1961年にスメールが、nが5以上の場合のポアンカレ予想を肯定的に解決した。これには周囲はびっくりした。なぜなら、普通、高い次元の方が難解だからである。4次元ポアンカレ予想は、1981年にようやく、フリードマンによって解決された。4次元の場合、いままでなかったような新しい技法が必要とされた。なぜなら、交差解消の理論において、与えられた閉曲線を境界にもつディスクが多様体の中で張られなくてはならないが、多様体の次元が4だと、これがうまくいかないのだという。

で、結局、未解決として残ったのは、オリジナルの3次元のポアンカレ予想であった、というのはとても偶然とは思えない。

さて、3次元のポアンカレ予想をも含むような、サーストンの幾何化予想というものがある。これは、「すべてのコンパクト3次元多様体の内部は、幾何学的構造をもつ部分に分解されるであろう」というものであるが、なんと、ロシアの数学者べレルマンは、トポロジー本来の手法とは全く違う手法によって、サーストンの幾何化予想そのものを解決してしまったのだった。ちなみに、幾何学的構造とは、ユークリッド的、球面的、双曲的などの8つの具体的構造で、ここで分解するとは、それらを3次元多様体の境界である、2次元球面、トーラスで互いに貼り合わせて、与えられたコンパクト多様体が構成されるようにすることをいう。

なぜ、従来のトポロジー本来の手法が、3次元のポアンカレ予想に有効でないのか、本間龍雄「ポアンカレー予想物語」日本評論社 1985年によれば、次のとおりである。すなわち、高次元ポアンカレ予想で有効であったハンドル体の理論は、3次元ではヘゴール分解の理論となるが、ヘゴール分解の与える代数的情報は、生成元と関係式で、解決に十分な情報ではない、というものである。数学セミナーの上記特集によれば、その他にも、3次元球面中のリンクのデーンの手術として問題を与えるのか、分岐被覆空間として与えるのか、4次元多様体の境界として与えるのか、三角形分割として与えられるのか、3次元球面からの適当なホモトピー同値写像として与えるのか、などいろいろな出発点があるが、どのトポロジー的な手法から出発しても、いいところまではいくのだが、必ず行き詰るのだそうである。

べレルマンの手法は、次のように概説される。単連結3次元閉多様体上に、リーマン計量を与える。そこで、リッチ・フローを走らせれば、本質的に大域的な障害が起こらず、球面の標準計量に収束するのだという。ただ、初期計量では、何度もリッチ・フローが止まるので、そこに現れる特異点を手術し、リッチ・フローを続けさせる工夫が必要であって、そこにべレルマンの苦心がある。

なお、リッチ・フローという手法は、べレルマンのオリジナルではなく、アメリカの数学者、リチャード・ハミルトンによって、熱流の問題を幾何学に応用することによって、発見されたものである。リッチとは、レヴィ・チビタとならんで、初期のリーマン幾何学の創設者の一人であり、ハミルトンが利用したのは、リッチ・テンソルと呼ばれる縮約された曲率テンソルである。

さらに述べると、べレルマンが利用したのは、リッチ・フローの局所非崩壊性である。この局所非崩壊性によって、単調性が保証され、以ってリッチ・フローを続けさせるため、特異時刻での手術を行うことが可能となる。

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2008年6月12日 14:04に投稿されたエントリーのページです。

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