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関孝和の業績

数学セミナーの2008年12月号に、現代数学と関孝和との関係が特集されていたので、メモしてみる。

先ず、関孝和の数学学習の出発点は、南宋時代の中国の数学書、「楊輝算法」である。これは、あまり高度なものではないが、連立一次合同式、算木による数値計算、整数や分数の性質を述べたものであり、この書物によって関孝和は、基礎固めしたものと思われる。

ところで、中国数学の最高峰は、元の時代の朱世傑の「算学啓蒙」に典型的に記述されている、天元術であった。これは要するに、未知数が1つの代数方程式である。実際、高次代数方程式の数値解を求めることは容易ではない。中国数学では、天元術の一環として、算木を使って平方根や立方根を求める方法も確立されていた。

このことから分かるように、中国数学は南宋で発達して、元の時代に隆盛を向かえたのであるが、明の時代には廃れてしまった。これは意外で、明という時代は、歴史書によると、唐と並んで、中国史の最もきらびやかな時代の一つである。それは、明が建国されるときに、多数の知識人が殺されてしまったからだというが、文化大革命のようなことが明の時代の当初にあったのだろうか。

こうして、明の時代には、「楊輝算法」も「算学啓蒙」も遺失してしまったが、なんと幸いにも朝鮮にはこれらの書物が伝来して保存されていた。そして、豊臣秀吉の朝鮮出兵のとき、これらの書物が日本に持ち帰られたのだ、という。すると、朝鮮に関孝和のような人材がいてもいいはずなのに、そういう数学の伝統があるとは聞かない。中国から科挙を取り入れて、人文科学に偏ってしまったのだろうか。そして、そのことが、未だに韓国から科学分野のノーベル賞が出ない理由なのだろうか、と穿った見方をしてみたくなる。

さて、日本では、17世紀末に、大阪の数学者、沢口一之が天元術をマスターして、天元術を発展させた、高次多元連立代数方程式とでも現代なら呼ばれる問題を作った。これに挑んだのが、「楊輝算法」で実力を磨いてした関孝和である。ただ、沢口一之は、数値解を求めることを期待したが、関孝和は、数値解ではよしとせず、一般的な式変形を含む解法を提供することで、応えた。このあたりに、関孝和の現代性を垣間見ることができる。しかし、沢口一之は、解法に価値を見出さず、数値解を与えないのは解けたことにならない、と評価しなかった。

すなわち、関孝和の主要な興味は、解に至るための式変形である。このため、現代数学で終結式と呼ばれる概念に関は想到した。終結式とは、2つの組の連立代数方程式が与えられたとき、その2つが同値である場合の係数の関係を示す式であり、このとき、行列式の概念が必要となる。関孝和は、行列式の概念を世界で最初に考案した。同時代にライプニッツも行列式の概念に至っていたらしいが、きちんと出版して公開したのは、関孝和の方であった。

ところで、この関孝和の代数方程式の変形理論をあと少しだけ拡張すると、現代数学でグレブナー基底と呼ばれている概念になる。グレブナー基底とは、高次多元連立代数方程式において、多項式の基底の組のことである。このような基底がみつかると、高次多元連立代数方程式を変形して解きやすくすることができる。例えば、コンピュータで数式処理は今や、普通に解かれるが、そのとき、グレブナー基底が裏で活躍している。

以上の業績は、有限次元の代数方程式に関するものであるが、関孝和のもう一つの顕著な業績は、無限次元の代数方程式とでも言うべき、無限等比級数である。関孝和は、公比が1より小さい場合の無限等比級数の値を正確に計算していた。また、円に内接する2n角形の週の長さとして、円周率を値を計算した。

こういう代数方程式の計算は、決して簡単ではないが、概念としては比較的分かりやすい。そういう意味では、関孝和から約100年後のガロアによる代数方程式の有限体や拡大体の概念は、抽象的で、現代にあっても決して分かりやすいものではない。18世紀の関孝和にそれを求めるのは酷であるが、もう少し後に生まれたら、何か新しい概念を、関孝和も思いついたかもしれない。行列式やグレブナー基底につながるようなオリジナルな業績自体、半端ではないからである。

そういう意味では、関孝和の高弟、建部賢弘は、関孝和の業績を精密化する方向で成果を挙げた。例えば、arcsin2xの無限級数展開を与える、円周率をより速い収束で求める、などである。

建部賢弘は、概念的に新しさを打ち出すという点で、関孝和に及ばなかったが、それでも、精密思考を普及した、という点で大きな業績があったと思われる。この伝統の上に、明治時代の類体論の高木貞治がいたし、今に至る日本の偉大な数学の伝統の源となっていると思われる。

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コメント (1)

匿名:

難しい漢字があったのでふりがなをつけてほしいです

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2009年1月 5日 06:17に投稿されたエントリーのページです。

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