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数学 アーカイブ

2007年3月13日

連続体仮説

 連続体仮説とは、その要素が、アレフ0である整数の、加算無限の並びである実数と、アレフ0である整数との中間の濃度が存在する、という仮説で、集合論の始祖、カントールによって提示された。実数全体の集合は、アレフ1である。よって、アレフ0.7のようなものが存在するか、という問いにもなる。
ちなみに、冪集合をつくることによって、1つ上のアレフの階段を上ることができ、こうして、帰納的に、アレフ∞が構成される(アレフ(アレフ1)も構成できるのか?)。冪集合以外の集合操作があって、中間的なアレフを生成できるのかもしれないが、コーエンなどの精力的な研究にも拘わらず、結論は出ていないようである。
 私の2つ前の記事、「謎の位階」は、このアナロジによる。すなわち、謎全体の集合は、明らかに全順序集合であるように構成できないが(そもそも、集合の定義を満たすかどうかあやしい)、全順序集合であるような謎の部分集合をとり、その任意の等しくない2つの謎の間で、どちらの謎にも等価でない、中間の解決ワークw(e)をもつような謎の集合が構成できるのではないか。もし出来れば、それを、正規謎部分集合と呼ぼう。
 またしても、自分で何を言ってるのか分からなくなった。

2007年3月18日

初歩の確率の問題

 サイモン・シン著 「フェルマーの最終定理」新潮文庫を読んでいたら、最初の方に次のような問題があった。
 サッカーの試合で、両チームの選手と審判を合わせると、23人が競技場にいる。このうちの少なくとも二人が、同じ誕生日をもつ確率はどれくらいか。
 きっと高校の基本問題程度なのだろうが、この程度の問題も、考えたけど、なかなか分からない。
 それで、昨日の午後くらいからぼやっと考えていて、やっと今分かった。要するに、先ず、23人の誕生日が皆違っている確率を計算して、1からそれを引けばよいのだと。
 次の人の誕生日が前に選ばれた日と異なるようにすればよいので、それは、365/365 * 364/365 * .... (365 - 23 + 1) / 365を計算すればよい。この計算は、手計算だとかなりきついので、Perlで次のように計算してみた。
# ---------------------------
$P = 1.0;
$n = 365;
for ( $i = 0; $i < 23; $i++ ) {
$P *= $n / 365;
$n--;
}
printf "%2.2f\n",$P;
# ---------------------------
 すると、$Pは、0.49となるので、少なくとも2人の誕生日が同じになる確率は、 1- 0.49 = 0.51
 要するに、23人の人が集まるだけで、そのうちの少なくとも2人の誕生日が同じになる確率の方がそうでない確率より高い、というのは、いかにも非自明である。
 この程度で非自明なら、XN+YN=ZNにN>=3のとき、整数解が存在しない、という、フェルマーの定理は、一体どれくらい非自明なのだろうか。

2007年3月31日

数論の系譜

 今日、新幹線の帰りに、サイモン・シン「フェルマーの最終定理」青木 薫訳、新潮文庫を読んだ。フェルマーの定理の証明に至る経緯は、おおまかには理解していたつもりであるが、「ええっ、そうだったの?」と思われることもいろいろあって、興味深く、勉強になった。少なくとも、また数学を勉強し直してみよう、という情熱を刺激された。それで、自分用のメモとして、数論の系譜を書いてみる。すなわち、
 ピタゴラス - ユークリッド - ディオファントス - フェルマー - オイラー - ガウス - クンマー までは、一気に線が引ける。ここからは、フラクタル理論の多重分岐によるカオス化のように、いろいろな人があらわれて、収集がつかない。例えば、ディリクレ、ソフィー・ジェルマン、デデキント、ジーゲル、ヴェイユ、岩澤健吉、谷山豊、志村五郎、カッツ、エルディシュ、そして、ワイルズ。
 ただ、フェルマーの定理を証明してしまったワイルズは、志村五郎の指摘するような、継続的な数学的創造性をその後も発揮し続けているのだろうか。

2007年4月 8日

お勧めの数学出版社

 本日、ジュンク堂に行って、新しい発見があった。それは、横浜図書という、数学書の出版社を発見したことである、横浜図書が、凄い出版社かどうか、短時間で見極めるのは難しい。ただ、これだけは一見で分かった。それは、とても妥当な値段で、専門的な数学書を出版している、ということである。例を挙げよう。「バナッハ空間と、ラドン・二コディム性」という、とても専門的な内容を、なるべく分かりやすく書いている本があって、そのボリュームは、なんと507ページもある。これは、例えば、理工学関係の良書が多いことで知られるシュプリンガー・フェアラークあたりでも、どう考えても5000円は、下らない。しかし、これが、たった、2950円である。その他にも、丁寧に書かれた、初心者向けの良書を、いくつかみつけた。是非、なじみになろうと思う。
http://www.ybook.co.jp/
 別の観点でいくと、マセマ出版社を紹介したい。ここは、もともと、受験数学の参考書がメインの会社であったが、大学教養レベルの参考書も最近出している。ここの本の特徴は、解説がとても丁寧ということである。すなわち、数学書を読んだことがある人は、ある定理の証明が自明と書かれていて、どうしてそうなのか、どうしても分からない、という経験があると思う。マセマ出版社の本は、そこに配慮している。すなわち、難しい概念を、あまり飛躍しないように丁寧に説明し、また、基本的な事項は、再掲を厭わない。昔から数学書に苦労してきた私は、こういう本が欲しかった、と今更思う。実は、ここのキーパーソンの一人、高杉さんは、私とも、個人的に親しい。それで、提灯広告かと思われたら仕方ないけど、でも、マセマ出版社の本は、数学セミナーなどの書評をみても、確実に人気ランキング上位にある。是非、受験生を抱える父兄にもお勧めしたい。
http://www.mathema.jp/

2007年4月11日

小林昭七先生

 原則として、会社での出来事は書かないのだが、このことは、業務とは関係ないので、書いてもよいと思う。本日、私が勤めている会社に、小林昭七先生が講演でいらっしゃった。カリフォルニア大学バークレー大学院の現役教授で、微分幾何学の泰斗である。数学書は、日本語より寧ろ英語の方が多い。
 で、一時間の予定の講演だったが、今日の演題は、専門の微分幾何学ではなく、数の話だった。整数、分数、有理数、無理数、複素数から始まって、三次方程式の代数的解法、連分数、素数の無限性、双子素数、完全数、ゼータ関数、と数論よりの話であった。それなりに興味深かったが、やはり微分幾何の話を聞きたかったようなきもする。ただ、私は、自分がもっている数学書の著者に、生で会ったことはいままでない。それで、まるで、若い女性が、キムタクに会うような感激を味わったのであった。
 あと、曽野綾子さんが、何かの機会に、「二次方程式なんて、なんの役にも立たない。」と言っていたのを引用して、あれは、昔、曽野綾子さんのご主人の三浦朱門さんが、「自分は、二次方程式も解けないような女と結婚しない。」と言っていたので、その恨みであろう、と言っていたのが、面白かった。実際、二次方程式も解けないような数学レベルでは、新幹線も車も設計できない訳で、役立たないなんて、妄言もいいところなのだけれども、数学者としては、やはり嬉しくないのだろう、「自分は、役に立つではなくて、美しさのため、数学をやっている。」と強調されていた。やはり、数学者は、プラトニストなのだ、と改めて感じた。
 あと、嬉しかったのが、会社は最近、余裕がなくなってきて、本当に実務的なことしかしないのだが、こういう風に仕事と全く関係のないことを、仕事中に講演で聴けることである。会社もまだ余裕があるのだ、と少し感じる。そういえば、前回、この種の話を社内で講演で聞いたのは、東大教授の佐藤勝彦さんの、宇宙創生のインフレーション理論の話で、なんと10年以上も前だった。あの頃は・・と思うが、まあこれで擱く。

2007年4月14日

πの計算

 昔からコンピュータを勉強してきた主要な目的は、πの計算や微分方程式の数値計算を行うためで、今時々書いているGUIのプログラムは、初志ではない。本日、たまたま、「πの計算 アルキメデスから現代まで」共立出版、竹之内 脩、伊藤 隆著を買って、眺めたので、すこし書いてみる。私が、πの計算に使ってきたのは、下記のマーチンの公式で、そのC++のソースをここに示す。このプログラムは、πの10000桁くらいだと、今の仕様のパソコンで、10秒くらいで計算する。しかし、根本的な困難があって、16000桁以上では、正しくない。この基本的困難を克服できないで、今、これ以上の桁数に進むことに挫折している。
 一方、上記のπの本では、下記のサラミン、ブレントの公式が現代的なので、πの計算で有名な東大の金田研は、2002年12月6日に、1兆2411桁を計算するのに、これを使ったのかと思っていたら、意外にも、マーチンの公式と同類の、ATAN公式のうち、高野喜久雄の公式を用いているのだという。すると、私が上記πの計算のプログラムを改善するには、多倍長計算の本質的な部分をきちんと実装しなくてはいけない、ということになる。ともかく、πの計算は、私のコンピュータ・リテラシの原点なので、勉強しなおして、また、挑戦するつもりである。


2007年4月15日

ニュートン法

 ニュートン法で、平方根を求めることを考える。

y = f(x) = x * x - a;

 で、y = 0の場合のxの値がaの平方根である。
f'(x) = 2xなので、x = cでの接線の方程式は、y = f'(c)(x-c) + f(c)
y = 0とおくと、 0 = f'(c)(x-c) + f(c)
 よって、x = c - f(c)/f'(c)
 そこで、x ← c のように漸化式を計算していくと、xの値がaの平方根に収束する。

Perlで、簡単に書くと、下記のとおりである。極めて速く収束することが、見て取れる。検算として、組み込み関数の値も併置してみた。
 この例だと、平方根なので、とても簡単であるが、ニュートン法は、もっと一般的な関数f(x)=0の解を求めるために使えるので、とても便利である。
 ただ、一般的な関数f(x)だと、初期値をどこからはじめるのか、また、値の誤差を見積もるのが難しいことがある。

# これは、2の平方根をもとめる例
$a = 2;
$x = $a;

for ( $i = 0; $i <= 10; $i++ ) {
$x = $x - ( $x * $x - $a ) / ( 2 * $x );
printf "%3.16f\n",$x;

}

printf " -------- \n";
printf "%3.16f\n",sqrt($a);
# -------------------------------------

 結果は、下記のとおり
1.5000000000000000
1.4166666666666667
1.4142156862745099
1.4142135623746899
1.4142135623730951
1.4142135623730949
1.4142135623730951
1.4142135623730949
1.4142135623730951
1.4142135623730949
1.4142135623730951
--------
1.4142135623730951

2007年5月 4日

日本の数学 - その1

 岩波新書「日本の数学」 小倉金之助著、を読んでいる。あまり知らない分野なので、自分用のメモとして、少しずつまとめてみる。
 先ず、辿れる範囲の歴史としては、欽明天皇の時代に、百済から暦に関連するものとして、数学書が伝来した。時代としては、6世紀中ごろということになる。そうして伝来すると、租税の計算、土木、天文に関連して、発達した。当時は、算木を利用して、数字が表現された。この算木は、現代の占いにも引き継がれると思われる。
 平安朝時代、すなわち、8世紀になると、既に九九の計算が知られていた。ただ、平安時代は、数学としては、特に見るべき発達がなく、戦国時代になって、復活することになった。
 1622年には、毛利重能の算術論が発行された。日本で始めての数学書といえる。これは、珠算の本で、特に割り算を扱ったものであった。
 1627年になると、吉田光由の「塵劫記」が発行された。これは、中国で発達した数学を、改めて書き直したもので、整数、度量衡、比例、按分、利息計算、級数、平方根、立方根、幾何図形、面積、体積、測量などを、具体的に取り上げた。この本はさらに、鼠算として、ネズミが子を産んで増えていく計算や、その他の難しい計算も、実例に即して取り上げた。さらに、ピタゴラスの定理、多角形、円周率の計算、一次方程式にも及んだ、というから、今の中学生レベル、場合によっては高校生レベルに達するものであろう。
 一方、中国には、天元術、すなわち、未知数の変数を使う代数が13世紀からあって、1299年に、元の朱世傑は、「算学啓蒙」という書物をあらわし、天元術を紹介した。
 これらの書籍に拠りながら、橋本正数は、天元術に精通し、その門人の沢口一之は、1670年に、「古今算法記」を著した。これはまさに、中国伝来の天元術を消化したばかりではなく、さらに前進させた名著であった。すなわち、二次方程式を、17世紀の段階で、組織的に解くことができたのである。
 こうして、次なる和算の発展の基礎ができたが、長くなるので、次稿に譲る。

日本の数学 - その2

 和算の中興の祖は、何と言っても、関 孝和である。関は、おそらく1640年に生まれ、1708年没。
 関を含めた、この時代の和算家の業績は、点竄と称する、筆算代数の確立である。ただ、関だけの業績ではないようで、誰の貢献なのかは、不明。
 さて、関 孝和の業績は、行列論、整数論、方程式論、また、円理と呼ばれる、円周の長さや円周率の計算など、多岐に亘る。また、中国などから輸入した知識をうまく総合し、一門をつくって、弟子の用養成に努めた。その高弟の一人に、建部賢弘(1664 - 1739)がいる。建部は、帰納法を確立した。また、鬼才、久留島義太などもいる。
 余談であるが、詰将棋の天才、伊藤看寿は、1719の生まれで、ほぼ同時代人。将棋を知らない人には説明困難であるが、伊藤看寿の煙詰も、相当にすごい。
 また、西洋のニュートンやライプニッツともほぼ、同時代であった。よく話題になるのは、関 孝和と、ニュートンやライプニッツとの独創性の程度と先行性である。ところが、なぜか、著者の小倉氏は、関 孝和の肩をもたない。すなわち、門外不出にしたことと、特殊な使いにくい記号にとどまってしまったことで、和算の発展が止まってしまったことから、ニュートンやライプニッツに軍配をあげる。
 私は、身びいきと、与えられた中国数学からの出発というハンディで、関 孝和の和算の一派も凄い、と思いたい。

2007年5月 5日

日本の数学 - その3

 和算は、安島直円(1733-1800)に至って、洗練された。すなわち、安島は、叙述的な、すなわち冗長な旧来の和算の本の記述を合理化し、見通しをよくした。
 また、安島は、円理の発展に貢献し、微小切片の和としての、積分のような技法で、円の面積を求めることを可能にした。
 藤田貞資(1734-1807)は、安島とほぼ同時代であって、その「精要算法」において、和算を簡単化し、また、その序文に、「今の算数は、用の用あり、無用の用あり、無用の無用あり。」と説く。まさに、前世紀のイギリスの数学者、ハーディの「純粋数学は、何にも役に立たないところに、美がある。」を彷彿とさせる。
 江戸時代にあって、和算は、ある意味、習い事のような技芸であり、それゆえに、流派や、流派間の対立があった。そこで、会田安明は、関孝和の流れをくむ藤田貞資に、論争を挑み、「・・・関氏も達人にあらざることは明らかなり。」と批判する。流石に、関孝和が達人でない、ということはないので、論争のための論争の面もなくはない。
 文政の時代(1804-1829)になると、和田寧(1787-1840)は、和算をさらに洗練させて、積分の計算をさらに簡単化させた。ここに、和算は、その極みに至ったといえる。
 ここで、和算が途絶えてしまった理由を考える。すると、やはり、明治時代になって、西洋から、西洋数学が入ってきたことに、一番の原因がある。和算は、problem solvingにそのエネルギーを注ぎ、その成果は精妙を極めたが、しかし、産業の発達が伴わなかったので、和算の成果が、産業に応用される可能性は、ほとんどなかった。わずかに、天文学にその応用をみる。しかし、偏見かもしれないが、ケプラーやニュートンのような定式化には至っていないはずである。
 また、西洋では、カントやライプニッツが、数学と哲学(神学?)とを関連付けたが、そういう思想的な深みにも至らなかった。
 こうして、和算は、いまや、数学史家の研究にしか、その名残をみることができなくなった。しかし、例えば、フェルマーの定理の解決の道筋を考えてみるがよい。そこには、谷山-志村の予想があり、また、岩澤健吉の定理もあらわれる。要するに、現代数学で、日本人数学者は、とても枢要な役割を果たしており、私には、日本人のDNAに脈打つ和算の伝統が、そこに利いてきているように思えてならない。
 また、「日本の数学」の著者の小倉金之助氏は、西洋数学に対して、和算をどうしても低く見る論調であるが、丁度、ガロアやアーベルの論文から、現代数学の課題が生じてきたように、関孝和や安島直円などの書物から、新しい数学的概念が抽出されないとも限らないと思うのである。
 

2007年7月20日

対偶命題

 例えば、写像の単射の定義で、f(x) = f(y) ⇒ x = y というのがある。これが真だとすると、その対偶をとって、x ≠y ⇒ f(x) ≠ f(y) も、真である。
 それなら、この命題は、どうであろうか。
「叱られないと勉強しない。」
 これの対偶?をとると、「勉強すると、叱られる。」で、レレレということになる。
 これは、今月号数学セミナーにあった例であるが、要するに、「叱られないと勉強しない。」は、時間の入った因果関係なので、論理関係ではないのだという。すなわち、叱られない、ということで、その結果、勉強しないで遊ぶ、ということになる。では、ついでに、「叱られないと勉強しない。」から、「叱られると勉強する。」が導き出せるのか、というと、叱り方によるだろうし、人にもよるだろう。また、「叱られないと勉強しない。」が真だとして、依然として、「勉強すると、叱られる。」という命題を否定している訳でもない。
 よって、時間が入った因果関係の命題は、とても扱いにくい。
 ところで、よく日本語は論理的でなく、英語は論理的である、と言われるが、実は、自然言語で書かれた命題には、上記のことも含めて、本質的な曖昧性があり、英語だ日本語だ、という問題ではない。
 では、記号で書けばいいかというと、「クレタ人は皆嘘つきである。」のパラドックスがあり、ラッセルのタイプ理論などを駆使しなくては、矛盾を解消できない。このように、論理の問題は本質的であって、簡単ではない。

2007年9月23日

オイラーの豊穣

 2007年10月号の数学セミナーは、オイラー生誕300年だった。
 そこで、おそるべき多産な数学者、オイラーの業績を垣間見ることにする。
1.グラフ理論
 ケーニヒスブルグの橋を一度ずつ渡る経路があるかどうかを、オイラーが解いた。これが、グラフ理論の嚆矢である。また、平面グラフの点、辺、領域の個数の間の関係式を決定したが、これは、組み合わせトポロジーの始まりともいえる。
2.数論
 オイラーは、フェルマーよりも後世の人であり、フェルマーの数論を発展させた。例えば、正の整数と互いに素な整数の個数の関数を決定し、素数分布と素数を亘るオイラー積を求めた。
3.流体力学の方程式
 ニュートンの力学方程式を拡張して、流体力学の方程式を定式化した。これはこれで、非自明な拡張であるが、まだ粘性の効果は入っていない。それは、ナビエ・ストークスを待つことになる。
4.変分法
 重力加速度gが一定の空間で、点Aから点Bまでを結ぶ曲線で、質点が移動する時間が最短であるような曲線を求めるのが、1つの変分法の問題である。結構特殊な方法のようであるが、後のラグランジュの解析力学のベースとなっており、ラグランジュの解析力学はまた、現代の場の量子論の基礎でもある。
5.平面曲線と楕円積分
 漸近曲線、及びその曲線の長さとしての楕円積分の定式化。楕円積分は、楕円関数として定式化され、後世の精力的な研究への道を開いた。
 こうしてみてみると、当時のほとんどの数学の分野をカバーし、あるいは創設したのであるが、欠落しているかもしれないのは、代数学と、天体力学である。ただ、代数学と、天体力学に触れた論文が皆無とは、とても信じられない。私が見落としているだけなのだろう。
 数学の歴史で、広さと深さの積の和でその業績をあらわすなら、チャンピオンがガウスであることに、異論がある人は少ないだろう。しかし、広さという点でみたとき、オイラーの右に出るものはいないだろう。しかも、彼の広い個々の業績がどれも、現代数学の淵源に繋がっていることは、彼の卓越した先見性を裏付ける。私のような一介のアマチュアがどうこう言うことではないが。

2007年10月15日

オイラーと力学

 先日のオイラーに関するブログ、オイラーの豊穣で、オイラーは、力学にあまり貢献がないのではないか、と書いたが、これは大変な不明、霊界にいるオイラーが見たら、呆れて、どこかに行ってしまうような愚かな命題であった。
 というのは、数学セミナーのオイラー特集号をさらに読むと、「ニュートンのプリンキピアには、力学の法則は、"運動の変化は、及ぼされる駆動力に比例し、その力が及ぼされる直線の方向に行われる。"というように、文章でのみ書かれている。」という。
 これではなかなか現実の系に適用できないが、この法則を初めて、二階連立常微分方程式の形に書き下したのが、オイラーである、というのだから、オイラーこそが解析力学の父なのであった。それだけではない。力学に、大きさがなく重さだけがある質点の概念を導入したのも、オイラーであるという。これは、とても大切なことで、もし大きさがあると、慣性モーメントなどが生じて、運動方程式がとても複雑になってしまう。典型的には、独楽の運動方程式がそうである。
 それだけではない。オイラーは、質点の概念を考えただけではなく、流体の連続方程式を考えた。これは、ベクトル解析で、divと書く、ダイバージェンスという式を使う、要するに、偏微分方程式である。オイラーは、これをさらに発展させて、ニュートンの方程式を連続流体に適用した、流体力学の方程式に想到した。これには、ナブラ、あるいは、gradとも書く、ベクトル解析の別の式が使われる。
 ここまで紹介すれば、霊界のオイラーは、許してくれるだろうか。えっ、そんなブログを書く暇があったら、ちゃんと勉強しなさい、って? すいません。

2007年12月12日

数学の序列

 数学という学問を大きく分けると、代数学、幾何学、解析学の3部門がある。このとき、序列として、代数学>幾何学>解析学である、というのが、この世界の常識である。
 では、その序列があるとして、それはどう効いてくるかというと、例えば、理学部数学科の主任に誰がなるかとか、理学部長にだれがなるか、とか、なんとなくひけ目に感じる、などの面でその序列が効いてくる。
 では、なぜこのような序列があるかというと、それは、実用に供さない分野ほど、高貴である、みたいな偏見によるのだと思う。例えば、イギリスのケンブリッジ大学で、かのラマヌジャンと共同研究したハーディーの、数学の本質はその美にあって、何の役にも立たないところに価値がある、という趣旨の発言に、数学者の精神の真骨頂をみるであろう。だから、代数学>幾何学>解析学という序列自体に意味があるのではなく、いかに応用とはかけはなれているか、というところに真の意味がある、ということになる。例をいくつか挙げる。
 まず、整数論という分野がある。これは、かのガウスが、数学の女王と呼んだものだが、多くの場合、ほとんど応用がない。それ自身閉じている、といってよい。例えば、フェルマーの定理に、なにほどの応用があろう。こういうものこそ、数学の世界では高く評価され、位階が高いということになる。整数論は、代数学の一部で、且つ他の代数学(群論など)よりも高いと看做される。ところが、整数論であっても、RSA暗号への応用となると、途端に地位は下がる。一気に解析学の下までぶっとんでしまう。
 整数論とは少しニュアンスが違うが、代数幾何は、もしかして、数学中の数学と看做されているかもしれない。代数幾何は、なかなか現実の応用がないこと、数学の中にあっても、とても難解なものと思われていることで、最高位を誇る。
 では、幾何学はどうであろうか。幾何学が代数学より下に位置するのは、それが物理学に応用を見出すからである。例えば、一般相対性理論などは、まさに、リーマン幾何という、幾何学の一部門の応用である。先ごろ話題になった、ポアンカレ予想も、トポロジーという幾何学の問題であった。また、天才物理学者ウィッテンがその才能を発揮したのは、まさに幾何学であって、その土台の上に、スーパーストリング理論も展開された。
 解析学は、物理学は勿論のこと、工学にも応用を見出す。この応用の広さが解析学を貶めている。ただ、解析がついても、解析的数論は、実は数論であって、一気に位階を駆け上がる。偏微分方程式論も解析学の一種であろう。これもどうしてもあまり地位は高くならない。ただ、作用素環などは、抽象度が高まって、急に位階が上がる。
 解析学の下位に位置づけられるのは、数学基礎論である。基礎論というと、数学全体の中心のようであるが、実は、多くの数学者は、基礎論なんて気にしていない。よって、とても特殊な分野なのである。
 数学基礎論の下にくるのは、離散数学である。これは、コンピュータに応用される、あるいは、コンピュータの基礎となる数学である。チューリング・マシン、計算量の理論、P≠NP問題は、数学基礎論とも深い関連をもつ。
 離散数学と同等なのは、統計数学である。統計数学も、階層的ベイズモデル、コンテカルロ近似、多次元尺度構成法など、面白いテーマが豊富であるが、それでも純粋数学よりも低い位階とみられてしまう。その応用性が仇である。
 統計数学の下にくるのは、数値計算法である。例えば、有限要素法のような、偏微分方程式の解法などである。しかし、実は、偏微分方程式の数値解法などは、それなしでは、車や飛行機などが設計できないほどの重要な手法である。数値計算法と同等なのは、金融工学である。これはある意味、世界を支配する数学である。しかし、それゆえにこそ数学者の尊敬を集めることはあるまい。
 こうして書きながら思ったのであるが、代数学>幾何学>解析学という順序は、歴史の古さによる。すなわち、一番古いのが代数学で、以下、幾何学、解析学という順序による。コンピュータ関連の数学の地位が低いのは、それが20世紀になってあらわれた数学であるからである。
 こうして命題:数学の分野は、それが歴史的に古いほど、また、実際への応用がないほど、位階が高い。
 この命題を、今度は法律学に当てはめてみたいが、長くなってきたので、後日の議論とする。
 

2008年3月 9日

ディオファントス

 ギリシャ時代の有名な数学者といえば、先ず、ユークリッドである。彼の幾何学に関する書物は、その公理的扱いとともに、不滅であろう。あとは、求積法その他を考案したアルキメデス、三平方の定理で有名なピタゴラスなどである。それ以外にも、ユーフラテスなど相当練達の数学者だったらしい。プラトン自身も、そのアカデメイアで数学を重んじたが、数学関係の著書は伝えられていない。
 しかし、それらの有名な数学者も、現在の数学研究の現場で、ライブな名前としてあらわれることはない。せいぜいが、幾何学の距離空間で、ユークリッド距離という定義が出てくるくらいである。
 ところが唯一の例外があって、それが、ディオファントスである。彼の生没年は不詳で、推定生年 200年 - 214年、推定没年 284年 - 298年と言われる。
 ディオファントスが特に研究したのは、代数方程式の有理数解である。例えば、変数が複数ある単一の代数方程式は、実数または複素数の範囲で、一般的に無数の解をもつ。ところが、その解の範囲を有理数に限ると、忽然として、解の数が有限になったりする。
 でも、有理数解がどうした、と普通は思うだろう。
 最初、という訳ではないが、ディオファントスの重要性を理解したのは、17世紀の数学者、フェルマーであった。フェルマーは、ディオファントスの算術を読みながら、その余白に、
XN+YN=ZNが、N>=3の整数に対して、整数解をもたないという、後世、フェルマーの定理、と呼ばれるようになった命題に関して、驚くべき証明をみつけたが、この余白は狭すぎて、ここには書けない、と書き込んだ。それをみて、後世の数学者は、比較的簡単に証明がフォローできると楽観していたが、次第にその難しさが分かってきた。その完全な解決は、なんと、フェルマーの没の約300年後の、ワイルスによる解決を待つ必要があった。
 ディオファントス方程式の重要性は、ヒルベルトにも認識され、彼はその有名な23の問題の第10問題で、「ディオファントス方程式の可解性の決定問題」を提案した。要するに、任意の整係数の多項式が、整数解をもつかどうかを、有限的に決定する方法が存在するか、という問いかけである。その問題は、1970年になって否定的に解決された。
 そのような総論的な命題はもちろん難しいが、ディオファントス方程式となる方程式には、様々なバリエーションがあり、ある具体的な数式から、とても深い定理が出てくることがある。その典型は、楕円曲線に関するモーデルの定理であろう。
 楕円曲線とは、y2 = x3+ax2+bx
 のような形である。ここで、a,bを整数とし、これが非特異3次曲線とする。
 すると、モーデルの定理によれば、この曲線の解となる有理点のなす群は、有限生成アーベル群である、というもので、それはある意味、信じられないくらい非自明な定理である。
 その他、ある無理数を含む不等式をみたす有理数の個数の無限性に関するディリクレの定理、代数的無理数を含む不等式をみたす有理数の個数に有限性に関するロスの定理、有理点の個数に関するボイタの予想とネヴァリンナ理論、abc予想など、ディオファントス方程式から出てくるさまざまは問題は、現代数学の華をなす。ディオファントス自身、自身の興味が、ここまで豊富な数学的実体を提供するなど、想像だにしなかったであろう。
 このように、数学のどこに深淵が潜んでいるかは、超一流の数学者にも予想がつかない。例えば、かのヒルベルトは、その23の問題の第8問題で、リーマン予想を取り上げた。そして、1919年に、「リーマン予想に対して最近、顕著な貢献がなされている。おそらく、私が生きている間に、その証明は解決をみるであろう。」とヒルベルトは述べた。ヒルベルトは、1943年まで生きながらえたが、2008年の今に至るまで、リーマン予想には、解決の糸口が見出されていない。ある著名な数学者などは、リーマン予想は数学を超えている、とまで弱音を吐く。という訳で、例えば、1000年後の数学がどういう方向に発展しているのか、そもそも停滞してしまうか、それはカオスであり、誰にも分からないだろう。

2008年5月 4日

ユークリッド素数列

 昔、ユークリッドは、素数が無数にあることを、次のようにして証明した。今、素数が、q1、q2、・・・qnあるとしたとき、
 q1*q2*・・・*qn+1を計算する。これは素数とは限らない。そこで、この数の最小素因数をqn+1とする。これによって、n+1番目の素数が得られる。qn+1は、q1、q2、・・・qnのどれとも等しくない。なぜなら、もしどれかと等しいと、q1*q2*・・・*qn+1はqn+1で割り切れなくなるので、qn+1がq1*q2*・・・*qn+1はqn+1の素因数であるという仮定に反する。このような操作は帰納的に無限に続けることができるので、素数が無数にあることが証明された。
 ただ、これは、無限に素数を生成することができる方法ではあるが、どうみても、全ての素数を網羅する方法とは思えない。
 しかし、シャノンという数学者が、1991年に、任意の素数から生成されたユークリッド素数列は、全ての素数を網羅する、と予想した。
 例えば、2から出発する。すると、2, 3, 7, 43までは一気に進む。ところが、2* 3 * 7 * 43 + 1 = 1807 となって、これ自体は素数ではなく、13という最小素因数が得られる。
 次に、2* 3 * 7 * 43 * 13 + 1 = 23479となって、これ自体も素数ではなく、53という最小素因数が得られる。
 このようなユークリッド素数列の計算は、次の点で非常に困難である。
(1) 無限多倍長整数計算を要する。
(2) いちいち、素因数分解しなくてはならい。これは、桁が大きくなると異常に大変である。
 リーマン予想やぜータ関数の研究で有名な数学者の黒川信重氏は、理論的裏づけは、さっぱり見当がつかないという。また、もしかして、最難問の1つに挙げられているリーマン予想自体よりも難しいかも、という。
 ところで、数論で未解決であるが、問題自体は分かりやすい命題として、双子素数は無数にある、というゴールドバッハの予想がある。
 一方、リーマン予想は、ぜータ関数の自明でない零点の実数部は全て1/2である、という非常に理解しにくい命題である。
 すると、ユークリッド素数列が素数全体と等しいという予想は、分かりやすさは、ゴールドバッハの予想とリーマン予想の中間であるが、リーマン予想よりも難しいかもしれない、という黒川氏の予想は興味深い。ただ、かの有名なヒルベルトは、リーマン予想は、フェルマーの予想(今は、定理)よりも簡単であると予想し、それは結局正しくなかったようである。だから、新しい道具立てが見つかって、ユークリッド素数列予想が証明される、という可能性はあるが、あいにく、リーマン予想のような豊富な副産物が見込めそうもないので、多くの数学者を惹きつけるようなものではないのかもしれない。

2008年6月12日

ポアンカレ予想

今月号の数学セミナーに、ポアンカレ予想の小特集があったので、自分のメモもかねて纏めてみる。ポアンカレ予想はもともと、1904年、いまから100年以上も前に、ポアンカレによって「3次元球面は、基本群とホモロジー群により特徴づけ可能であろう」と予想されたことから始まる。

これは数学的に、「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面に同相であろう」と等価である。このようにポアンカレ予想は、3次元から始まったが、これを高次元に拡張してみたいのは人情だろう。すなわち、「単連結なn次元閉多様体は、n次元球面に同相であろう」である。そして、高次元の方が難しいだろう、と思うのものまた、人情である。

ところが、である、1961年にスメールが、nが5以上の場合のポアンカレ予想を肯定的に解決した。これには周囲はびっくりした。なぜなら、普通、高い次元の方が難解だからである。4次元ポアンカレ予想は、1981年にようやく、フリードマンによって解決された。4次元の場合、いままでなかったような新しい技法が必要とされた。なぜなら、交差解消の理論において、与えられた閉曲線を境界にもつディスクが多様体の中で張られなくてはならないが、多様体の次元が4だと、これがうまくいかないのだという。

で、結局、未解決として残ったのは、オリジナルの3次元のポアンカレ予想であった、というのはとても偶然とは思えない。

さて、3次元のポアンカレ予想をも含むような、サーストンの幾何化予想というものがある。これは、「すべてのコンパクト3次元多様体の内部は、幾何学的構造をもつ部分に分解されるであろう」というものであるが、なんと、ロシアの数学者べレルマンは、トポロジー本来の手法とは全く違う手法によって、サーストンの幾何化予想そのものを解決してしまったのだった。ちなみに、幾何学的構造とは、ユークリッド的、球面的、双曲的などの8つの具体的構造で、ここで分解するとは、それらを3次元多様体の境界である、2次元球面、トーラスで互いに貼り合わせて、与えられたコンパクト多様体が構成されるようにすることをいう。

なぜ、従来のトポロジー本来の手法が、3次元のポアンカレ予想に有効でないのか、本間龍雄「ポアンカレー予想物語」日本評論社 1985年によれば、次のとおりである。すなわち、高次元ポアンカレ予想で有効であったハンドル体の理論は、3次元ではヘゴール分解の理論となるが、ヘゴール分解の与える代数的情報は、生成元と関係式で、解決に十分な情報ではない、というものである。数学セミナーの上記特集によれば、その他にも、3次元球面中のリンクのデーンの手術として問題を与えるのか、分岐被覆空間として与えるのか、4次元多様体の境界として与えるのか、三角形分割として与えられるのか、3次元球面からの適当なホモトピー同値写像として与えるのか、などいろいろな出発点があるが、どのトポロジー的な手法から出発しても、いいところまではいくのだが、必ず行き詰るのだそうである。

べレルマンの手法は、次のように概説される。単連結3次元閉多様体上に、リーマン計量を与える。そこで、リッチ・フローを走らせれば、本質的に大域的な障害が起こらず、球面の標準計量に収束するのだという。ただ、初期計量では、何度もリッチ・フローが止まるので、そこに現れる特異点を手術し、リッチ・フローを続けさせる工夫が必要であって、そこにべレルマンの苦心がある。

なお、リッチ・フローという手法は、べレルマンのオリジナルではなく、アメリカの数学者、リチャード・ハミルトンによって、熱流の問題を幾何学に応用することによって、発見されたものである。リッチとは、レヴィ・チビタとならんで、初期のリーマン幾何学の創設者の一人であり、ハミルトンが利用したのは、リッチ・テンソルと呼ばれる縮約された曲率テンソルである。

さらに述べると、べレルマンが利用したのは、リッチ・フローの局所非崩壊性である。この局所非崩壊性によって、単調性が保証され、以ってリッチ・フローを続けさせるため、特異時刻での手術を行うことが可能となる。

2008年6月17日

フェルマ

書棚をぼやっと見ていたら、随分昔に買った、「フェルマ予想入門」槇書店、平松準一、宇津木博著が目に入った。この本は、1988年1月刊だから、ワイルズによってフェルマ予想が証明される6年前に出版されたことになる。

槇書店というのは、ほとんど数学の本専門だが、あまり有名な大学の先生が書かなくて、少し安いというのが特徴である。無名の先生だから良くないかというと、そんなことはなく、丁寧に書かれた良書が多い。そうでないと、こういう小さい出版社は生き残れないだろう。はったりではなく実力だけで勝負だからである。

その期待に違わず、「フェルマ予想入門」も良書である。フェルマの生い立ちから、n=4、3の証明、クンマーのイデアル論までカバーして、丁寧に説明している。そこで、最初のフェルマの生い立ちのところを簡単にメモしてまとめてみる。

フェルマは、1601年8月に、フランスのボーモン・ド・ロマーニュに生まれた。日本だとまだ戦国時代もいいとこである。トゥールーズで法律を学び、1648年にトゥールーズ地方議会の議員となり、17年間勤務して1665年1月に亡くなった。それほど長寿でもないが、当時なら普通か。よって、フェルマの数学は、その本職からいくと、ほんの余技に過ぎない。

当時は、みんな科学や数学をこういうように余技としてしか勉強しなかったのだろうか。そんなことはなくて、ガリレオが望遠鏡で木星の衛星を発見したのは、1610年だから、フェルマが10歳の頃である。ガリレオは、天体観測が余技だったとはいえまい。だから、フェルマは、その当時としても、一アマチュアとして数学を学んだのである。そもそも、誰か有名に数学者に教わったという形跡もない。
フェルマがどうやって数学を勉強したかというと、ディオファントスの数論の本を読んだのである。そして、読みながら、その欄外にアイデアを書くのが常だった。ディオファントスの第8問題は、与えられた平方数を2つの平方数の和に分ける、というピタゴラスの問題で、これ自体は、大した問題ではない。しかし、これを見てフェルマは、一般のn乗に拡張し、「n乗数を2つのn乗数の和であらわすことは、n>2なら不可能である。私は、この一般的定理の実に驚くべき証明を発見したが、しかし、この余白は、それを載せるにはあまりにも狭い。」と書いた。

息子のサミュエルが、賢明にも、この注釈つきで出版したので、後世の数学者の目に留まることになった。フェルマ自身、n=4の場合を本当に証明しているので、一般の場合もきっと本当は証明しているに違いない、と後世の数学者は、眼の色を変えてこの問題に取り組んだ。

ところがどっこい、簡単でない。オイラーのような天才でも、n=3の場合の証明は、やっと、1770年に完成した。オイラー自身、n=4の証明を自分で、1747年に完成しているので、実にそのギャップは、23年もある。4よりも3の方が難しいなんて、まるでポアンカレ予想ではないか。尤も、多産なオイラーのこと、フェルマ予想ばっかり考えていた訳ではないよ、と弁解するかもしれない。

n=5の場合、ルジャンドルが1825年に解いた。

n=7の場合、ラーメが1839年に解いた。

このように、個々のケースも大変な難問であるのに、一般的に証明するなんて、ということになる。そういう意味で、高次が一気にスメールによって解かれた、ポアンカレ予想がいかに、想定外だったかがわかる。

ただ、一般化のためにクンマーは、イデアルという形式を考案した。これは、後世の整数論の理論的整備に大変役に立った。当然ながら、ワイルズも、クンマーのレガシーに負うところ大である。

戻って、最大の謎は、どうしてフェルマが、「n乗数を2つのn乗数の和であらわすことは、n>2なら不可能である。」という命題を思いついたのか、ということである。それは、どう考えても、ハタと閃くようなことではない。理詰めでも分からない。もっと分からないのは、証明を思いついた、と勘違いすることである。SFではないが、330年後のワイルズとフェルマの意識が繋がっていて、時空を円環しているのか、と推察してしまう。

2008年7月14日

岡潔文庫

今月号の数学セミナーを眺めていたら、岡潔文庫のことが書かれていた。岡潔といえば、知る人ぞ知る、偉大な数学者で、多変数解析函数の世界的権威であった。

多変数解析函数というのが、数学の中でも、特異な分野であってあまり一般的でないため、また、独特の右翼思想とその奇矯ともいえる行動パターンで、近代数学史にあって、いまいちメジャーではない。例えば、岩澤健吉の方が、よほどメジャーであろう。

私が岡潔について知ることはあまり多くなくて、京都大学時代は、あまり出来のいい学生でなかったこと、フランスに留学してもいつもぼうっとしていたこと、そのフランスで、多変数解析函数を研究テーマとして選んだこと、教師として奉職した広島大学では、真面目に教えないで、追い出されてしまったこと、スーツのまま寝起きして研究していたこと、多変数解析函数の研究が世界的に有名になり、日本に来たフランスの偉い数学者アンリ・カルタンだったか、岡潔に会いたいと奈良の片田舎に来たら、単なるおっさん一人で驚き、実は、業績があまりに凄いので、キヨシ・オカとは、ブルバキのような数学研究集団かと思っていたとのこと(これは、考えられる最大の賛辞である)、結局、奈良女子大に落ち着いたこと、将棋が好きだったこと、独特の右翼がかった随筆があること、などである。敢えて、Wikipediaなど見なくて記憶だけで書いた。誤っていても、文責は私にある。

そんな縁で、ホームページの岡潔文庫は、奈良女子大が作成・管理している。

で、数学セミナーの記事に戻って、岡潔から、竹内外史(数学基礎論学者)に送られたメモに、不思議なものがあったそうである。それは、三代名人 伊藤宗看作、とあって、詰将棋らしいのだが、14に赤、23に緑、38に赤、46に赤、5の10に赤、というものである。10など、盤外なので、持ち駒のつもりだろうか。

実は、岡潔の別のメモで、赤が歩、緑がと金、という対応がかかれたものがあり、しかしだからといって、上記の判じ物が解ける訳ではない。すると、伊藤宗看の将棋無双のどれかの一部に対応するのか、と思われる。

岡潔の詰将棋のメモには、「高ク澄ミテ、シカモ強シ、名匠ノ作ナリ。」と書かれていたという。ところが、その詰将棋のメモの裏には、多変数解析函数のことが書かれていた、というから、数学のアイデアを得るための呼び水に、詰将棋を使ったのだろうか。

藤原正彦の「国家の品格」には、数学は情緒である、という言い方が出てくるが、そのオリジナルは、岡潔にある。実際、岡潔の随筆を読んでも、数学の筋道みたいな話はほとんど出てこない。湯川秀樹の随筆でさえ、ちゃんと科学などの筋道が通った話が沢山でてくるのに、である。

だから、岡潔は、伊藤宗看の将棋無双を、ひたすら感性を磨くために味わったに違いない。岡潔は、伊藤看寿の将棋図巧よりも、伊藤宗看の将棋無双の方が好きだという。実際、将棋図巧は技巧的に過ぎて、将棋無双の方が優れている、というプロ棋士は少なくない。

ともかく、詰将棋の駒を色であらわして楽しむなどという、私のような並の将棋ファンの到底理解できない感性こそが、多変数解析函数の世界的業績につながったのか、と煙に巻かれたように、呆然とつぶやくのであった。おっと、煙詰は、将棋図巧であったが。

2008年9月 6日

ベイズ的確率

ベイズ理論というのはよく聞くが、何を意味しているのか全く理解していないので、パターン認識と機械学習、C.M.ビショップ、シュプリンガー・フェアラークに拠ってメモしてみる。

先ず、古典的確率解釈として、頻度主義的確率解釈というものがある。例えば、箱の中に赤玉と白玉が何個かあることが分かっている。そこから、無作為に玉を1個取り出してその色を記録し、また戻す、という操作を行う。これを繰り返すと、D = {x1,x2,...xn}という系列が得られる。
xi(i = 1,..,n)∈[R,W] ここで、Rは赤、Wは白とする。

この結果、Wのデータの数が1802で、Rデータの数が591だとすると、WがRのほぼ三倍なので、箱の中には、白玉が赤玉のほぼ三倍あるだろう、という確率モデルwが得られる。

これは、p(w|D)と書かれ、Dという観測データが与えられたとき、wというモデルが成立する確率がいくら、という話になる。

さて、モデルwとデータDがどちらもなんらかの事象であるとする。すると、その同時発生確率
p(w,D) = p(w|D)p(D)

同様に、p(w,D) = p(D|w)p(w)

そこで、上記2つの式を等値して変形すると、
p(w|D) = p(D|w)p(w)/p(D)

これが有名なベイズの定理である。これを見ると、なあんだ恒等式ではないか、ということになるがベイズの定理の本領は、その確率解釈にある。すなわち、p(D|w)という式をみると、これは、wというモデルの下でのデータDが観測される確率ということになる。

誤解かもしれないが、私の解釈で例を書き下すと、地球の気温の観測結果Dがあるとき、その観測結果Dをもたらすモデルwというのはいろいろある。二酸化炭素濃度を主とするもの、太陽黒点の数を主とするもの、などである。すると、ベイズの定理によると、観測結果Dの下でのモデルwが妥当である確率は、そのモデルwによって観測結果Dが得られる確率と、モデルwの事前確率p(w)の積に比例する。ここで、p(D)は、一種の正規化係数とみなしてもよい。

すなわち、ベイズの定理の右辺では最早、多数発生のデータからモデルwの妥当性を判断するのではなく、モデルwから観測結果Dが発生する確率という方に視点が切り替わっている。すなわち、気象観測のようなケースだと、繰り返し多数発生したデータからモデルを推測するということが必ずしもできない。そこで、モデルから逆に、一回的かもしれないデータの発生確率を推定する。このような確率をベイズ確率とよぼう(正しいか?)。

さて、p(w|D) = p(D|w)p(w)/p(D)を、すべての可能なwで積分すると、左辺は1になる。それを変形すると、

p(D) = ∫p(D|w)p(w)dw このように、モデルwを変数のようにみなすのが、ベイズ的確率の真骨頂である。ただ、多数のモデルwに対してこのような計算をすることは、一般的に大変な計算なので、コンピュータによる計算技術が発達するまでは、ベイズ的確率を使うことは、現実的でなかった。それが、最近になってようやく、ベイズ的確率が現実のシステムに利用されるようになってきている理由である。

誤解しているかもしれないが、とりあえず、この理解を起点として、ベイズ理論の理解を深めてみたい。

2008年9月14日

ブール代数は体でない?

数学セミナーの今月号は、有限体の特集だったが、普通の定義では、ブール代数は有限体でないことに今更気づいた。

まず、ブール代数とは、であるが、和と積が定義されて、定義域は{0,1}であり、1+1=1, 1+0=1, 1+0=1などが成立する。

積に関して、(ab)c=a(bc)の結合法則が成立し、1・a = a・1 = aという単位元1が存在し、a≠0に対して、ab = 1となる元が存在する。

a(b+c) = ab+ac、及び(a+b)c=ac+bcという分配法則が成立する。

和に関して、結合法則(a+b)+c=a+(b+c)が成立する。0+a=a+0=aという和に関する逆元も存在する。a+b=b+aという可換性も成立する。

ところが、体であるためには、和に関して、任意のaに対してa+b=b+a=0となるbが存在しなくてはならないが、ブール代数は、その和と積の演算において、ここで対応できなくなって、体にならないことが分かる。

このように和に対して可換群になれないことから、ブール代数は、環にもなれない。

そこで、和を排他的論理和で置き換えると、a+a=0となるので、ブール代数はようやく体(特に、有限体)になれる。これをブール体と呼ぶ。

という、so what ?な話であった。

2008年9月21日

岩波数学叢書

数学セミナーの本の広告欄を見ていたら、岩波数学叢書というのがあった。最近、私の気持ちの中では、岩波書店の評価は低い。理由は、例えば、一般向けの新書の分野で、岩波書店は、講談社、中公だけでなく、宝島社、幻冬舎などにも後れをとっているからである。

そのような偏見から、岩波数学叢書も、群論入門など、一般向けでお茶を濁しているのではないか、と高をくくってみていた。すると、いきなり、「アラケロフ幾何」という文字が目に入った。数学の才能はないのに、ミーハーな私は、一応数学の分野の名前や数学者はフォローしているつもりであるが、「アラケロフ幾何」というのは、聞いたことがない。広告の解説をみると、「グロタンディークのスキーム論を超えて代数、幾何、解析を融合させる現代代数幾何の最高峰」とある。なんだか、凄そうである。値段は、6080円もする。絶対に理解できそうもないので、経典代わりに買い置くには高すぎる。

もう1つの配本は、「複雑領域上のディリクレ問題」。そもそも、ディリクレという名前が出てくること自体が、プロ好みである。これは調和関数の境界挙動についての本らしいが、これは多少は一般向け?である。

今後配本予定で「凄そうな」ものを挙げてみると:

アーベル多様体のモジュライとそのコンパクト化
可換環論における正標数の手法
ギンツブルク-ランダウ方程式と安定性解析
非線形分散型波動方程式
無限グラフのラプラシアン
量子情報と対称性
劣モジュラ最適化

こういう、専門家に小部数しか売れそうもない高度に専門的な本を出す岩波書店も、まんざら捨てたものではないのか、とふと思った次第である。

岩波数学叢書

数学セミナーの本の広告欄を見ていたら、岩波数学叢書というのがあった。最近、私の気持ちの中では、岩波書店の評価は低い。理由は、例えば、一般向けの新書の分野で、岩波書店は、講談社、中公だけでなく、宝島社、幻冬舎などにも後れをとっているからである。

そのような偏見から、岩波数学叢書も、群論入門など、一般向けでお茶を濁しているのではないか、と高をくくってみていた。すると、いきなり、「アラケロフ幾何」という文字が目に入った。数学の才能はないのに、ミーハーな私は、一応数学の分野の名前や数学者はフォローしているつもりであるが、「アラケロフ幾何」というのは、聞いたことがない。広告の解説をみると、「グロタンディークのスキーム論を超えて代数、幾何、解析を融合させる現代代数幾何の最高峰」とある。なんだか、凄そうである。値段は、6080円もする。絶対に理解できそうもないので、経典代わりに買い置くには高すぎる。

もう1つの配本は、「複雑領域上のディリクレ問題」。そもそも、ディリクレという名前が出てくること自体が、プロ好みである。これは調和関数の境界挙動についての本らしいが、これは多少は一般向け?である。

今後配本予定で「凄そうな」ものを挙げてみると:

アーベル多様体のモジュライとそのコンパクト化
可換環論における正標数の手法
ギンツブルク-ランダウ方程式と安定性解析
非線形分散型波動方程式
無限グラフのラプラシアン
量子情報と対称性
劣モジュラ最適化

こういう、専門家に小部数しか売れそうもない高度に専門的な本を出す岩波書店も、まんざら捨てたものではないのか、とふと思った次第である。

2008年10月 1日

志村五郎

志村五郎と言えば、すべての楕円曲線はモジュラーであるという谷山-志村の予想で知られていてる。その予想は、後に肯定的に証明されたが、ワイルズによるフェルマーの定理の証明に本質的な貢献があった。

私がその志村五郎氏を知ったのは、フェルマーの定理で、谷山-志村の予想が言及される前で、ある会社の広報誌に、志村氏が寄稿した内容を読んだときである。その記事によると、日本の代表的な数学者で、類体論の創始者でもある高木貞治のことを、単発の業績しかなく、後半はだらしない、みたいな言い方をしていたので、私は少し驚いた。というのは、高木貞治というのは日本の代表的な数学者であり、類体論がぴか一の業績があったことも疑いなく、貶めるような話は聞いたこともなかったからである。

ところがなぜか、志村氏が傲慢であるようなニュアンスはあまり感じなかった。意外にも、高木貞治を凌ぐ凄い数学者であろうという印象をもった。

それで、志村五郎氏の著書を読んでみたいとずっと思っていたのだが、本好きでいろいろと本を漁るのが趣味の私も、志村五郎氏の本を見つけ出すことはできなかった。数学の本であれ、一般書であれ、である。

そんなときたまたま、何かの本の紹介で、志村五郎「記憶の切絵図」(絵は、実際は旧漢字だが、うまくみつからなかった)という本が最近出版されているのを見出し、迷わず買った。アマゾンの書評で、有名な数学者の飯高茂氏が、「おそるべき本である。」と最高の得点をつけていたのが面白かった。

さて、「記憶の切絵図」であるが、志村五郎氏の自伝が淡々と書かれている。生まれたのは浜松であるが、ものごころついてからは、東京の牛込で暮らす。小学校に上がったのが昭和11年(1936年)で、大正デモクラシーから次第に日本が軍事国家に傾倒していた頃である。そういう頃だから、極貧ではなかったが、結構ひもじい思いもしたらしい。勉強は相当できたはずであるが、そういうことをひけらかす記載は全くない。数学においてすら、である。

決して軍国少年であった訳ではないが、開戦になって、日本軍が米軍の軍艦を撃沈したニュースを聞いて、ざまみろと感激したという。それが何か悪い、そういうもんである、と悪びれない。自分の気持ちに素直に、というのが、志村五郎氏の基調である。そんなの当たり前、と思うかもしれないが、その程度と一貫性は到底並ではない。比類なきほど、と言っても過言ではない。

例えば、敗戦に際しての天皇の戦争責任に言及することに躊躇わないし、原爆についても、単に悲惨さを嘆くのではなく、米国に特別な言えない意図があったとしか思えないと疑問を呈する。

東大に進学した後も、有名な数学者である岩澤健吉氏の講義を平気で、あれは教育的意義という意味ではどうかと思われる、と平気でコメントするし、アルフォースのような有名な数学者と話したときも、この人から何か学べるとは思えないと平然と述べる。だから改めて、高木貞治の傲慢と老害に容赦がない。

そういう生意気なことを言うと普通は、「じゃあんたはどうなんだ。」と反論されるだろう。それで普通の人はそう反論されてたじろくか、閉口するだろう。ところが、そう反論されて志村氏ほど平然としていられる人もいないのではないかと思われる。というのは、現在志村氏は75歳であるが、2001年の69歳の時点で、第1級の業績を上げているのである。

実際、志村氏は次のように言う。「誰でも第一級の数学者になろうと思うなら、その人は徐々に自分の水準を高めて行き、四十か四十五歳である高さに達し、その後はその水準をできるだけ長く保持するように努力すべきであり、またそれができる筈である。それが私の理想である。」それをアンドレ・ヴェイユに話したら、"You will find out."と応じられたそうである。なんか、揶揄するような言い方ではないか。ということは、数学者のコミュニティにあっても、志村氏のような意見は一般的でないということである。

志村氏の方針は王道である。トリッキーでなく、本質的な問題を解くこと。新たな展望を与えること。また、10年くらい研究してある程度見込みがつくと、他の分野にも広げること。蛸壺を嫌う。大家然とすることを忌避する。

そんな合理主義の志村氏であるが、1989年に、谷山豊氏の回想を書いた。なぜ今更、谷山豊氏に言及したか、の言い訳をしている。なんでも夫婦で1986年頃、谷山豊氏の話題になって、涙がおさえきれなくなった。その理由は、「谷山がかわいそうでたまらなかった。」それで書いたという。志村氏の合理主義の裏の熱い思いを垣間見るのである。

2008年10月23日

統計の悪魔

Webニュースによると、ちょっと前の話だが、BusinessWeek誌は2006年1月23日号のカバーストーリー「Math Will Rock Your Worldで「数値情報化」という新時代の到来について取り上げたという。

すなわち、クレジットカードでの買い物や携帯電話の使用、コンピューター画面上でのマウスのクリックなどの行動が、1件1件がすべてデジタル情報として蓄積される。そうした情報を解読する手段や技術を手にした者は、行動パターンや嗜好、健康状態、買い物の習慣などを読み取り、未来の行動を予測できるようになるかもしれない。そうなればビジネスや社会は一変するだろう、というストーリーである。そんなに目新しい話題という訳でもない。

さらに、『The Numerati』という書籍もある、という。筆者であるBusinessWeek誌のシニアライター、スティーブン・ベーカーは、個人データを分析・解読し、患者や買い物客、有権者、テロリスト予備軍、あるいは恋人までをも見分ける数学の天才を紹介している。

キーボード入力やマウスクリック、電子メールの履歴情報が日々蓄えられるため調査が可能な職場は、ニューメラティ(起業家的数学者)にとって最も期待できる“研究室”である。書籍の中の「The Worker(労働者)」の章では、ベーカーがIBMを訪れ、同社の数学者たちが取り組んでいる「従業員の行動に関する予測モデルの構築」を紹介している。

その内容は、IBMのトーマス・J・ワトソン研究所のサメール・タクリティ氏が、各コンサルタントのあらゆる技能に関する情報を集積し、最も効果的な人員配置の方法を数学的に割り出すための取り組みを統括しているという。タクリティ氏は、シリア生まれの数学者で、IBMの技術コンサルタント5万人の技能の数値モデルを作るのだという。

その本によると、タクリティ氏のチームは、この数値化プロジェクトがうまくいけば、チームはこのモデルを他社にも適用し、今は管理業務と呼んでいる作業の大部分を自動化することを目指しているというが、多分それは、管理業務の評価であって、管理業務のやり方の自動化ではないと思う。なぜなら、数字をいじっても、管理業務のやり方の工夫は出てこないからである。

ともかく、こういう能力の数値化みたいな話は、特に管理される側は嫌である。数値モデルが絶対化され、一人歩きするからである。しかし、タクリティ氏はプラス面を強調し、こう述べる。

するとタクリティ氏はプラス面を強調し、こう反論した。「上司があなたの能力を最終的にきちんと認識する、それも自分でも気づいていないような能力を認識する可能性もある。そして、自分の力をいかんなく発揮できる職務が与えられるかもしれない」。

確かに、そういう面もあるだろう。では、どうやって能力を数値化するのか、ということについて、私が知っている範囲の技術を述べてみる。それは、機械学習というものである。

そのために、f(w,a)確率のモデルを考える。典型的なモデルは、ロジスティック回帰などの、線形回帰モデルである。aがインスタンスで、wがモデルのパラメータである。そこで先ず恣意が入ってくるのは、インスタンスの集合としての学習データである。典型的には、サンプルの人の特徴ベクトルaとその得点のような値をもってきて、
Σ(P(a) - f(w,ai))2を最小とするようにwを決める。

一旦wが決まると、f(w,a)に、aを代入することで、そのaに対する評価の予測値fが得られる。

このような数式から理解されることは、うまくいくかどうかは、相当に場合による、ということである。

それでも、評価を数式モデル化することは、統計数学者にとって快感であって、その歩みは止まらない。さらには、同氏のチームでは、各従業員の気まぐれな行動や毎日の通勤だけでなく、仲間、場合によっては対立相手をも網羅した詳細なモデルを構築したいと考えるようになったという。例えば、各従業員が牛肉と豚肉のどちらを選ぶか、宗教上の安息日をどの程度厳守するか、命令に従わせるにはアメとムチのどちらが効果的かなど。見て取れるように、このようなダイコトミーが、統計モデルに似合う。そこに統計モデルの長所と弱点を見抜くべきである。

しかし、見方によっては、いろいろな細かい情報もそのほかの数え切れない情報とともに、モデルに盛り込み、詳細な情報を十分に織り交ぜることで、実際の人の行動をそのまま数値化したようなモデルを構築できるという楽観論もあろう。監督者がそのモデルをうまく利用して、最も効率的な従業員の組み合わせを求めることができると考える人も少なくない。

ところで、会社の研究者の推奨により、C.M.ビショップ著、パターン認識と機械学習、シュプリンガー・フェアラーク上下二巻、を購入してみた。なんでも、この分野のベストセラーなのだという。すると、なんという難解さか、と愕然とした。流石に、場の量子論よりは分かりやすいのだろうが、私にとっては、岩にぶつかるような困難さの点では同等である。で、C.M.ビショップの経歴をみると、なんと、エジンバラ大学で、あのヒッグス機構で有名なヒッグスの下で、量子論に関する論文で博士号を取ったのだという。なるほど、然りである。今は、マイクロソフトの研究所で、機械学習への確率論的アプローチの研究をしている、という。実は、パターン認識と機械学習の本は、上下二巻で14400円もした。微かに後悔しているところである。

2008年10月28日

精度保証つき数値計算

今月号の数学セミナーのトピックは、「計算の品質」である。どうみても、数学というよりも、計算機科学のトピックであるが、まあ、細かいことは言うまい。

この計算の品質ということに関して、私の経験を言うと、もう25年以上前、まだ独身で、シャープのMZ2000というパソコンを買って、遊んでいた頃に遡る。そのころ、ニュートン力学の方程式をシミュレーションする軌跡を描くプログラムを書こうと思い立ち、ものの本で、常微分方程式の数値解法である、ルンゲ・クッタの方法を学んだ。それで二体問題を記述すると、なるほど、ケプラーの公式どおり、楕円軌道になる。ところが、三体問題だと、そもそも、解が容易に発散してしまうのである。ポアンカレの力学系の定理によれば、ランダムに初期値を与えると、カオスのような軌道になるはずであるが、全然そうならない。

その原因は2つあって、まず、ルンゲ・クッタの方法におけるステップhというパラメータに起因する誤差である。そもそも、連続的な動きを離散的にステップhずつ進むという式であらわす訳であるから、誤差は必然である。ただ、この場合の誤差は、ルンゲ・クッタの方法自体により見積もることができるので、どこかで修正できる。ただ、そのようなオンザフライの誤差修正は、プログラムとして難しくて、私の能力を超えた。

一方、上記の計算において、浮動小数点数の四則演算や平方根、累乗の計算があらわれる。すなわち、本来無限の桁につらなるような実数を、有限の有効桁数の浮動小数点数であらわす訳であるから、当然にそれは近似にすぎず、誤差が内在する。それは、コンピュータを使う以上、どうしようもないということになるが、実は、次のようなクヌースの定理が存在する。

すなわち、クヌースは1969年に、2つの浮動小数点数の和は、誤差なく計算できることを示した。正確にいうと、2つの浮動小数点数の和の誤差を、やはり浮動小数点数として厳密に記述できるということである。

これを基本定理として、乗算やベクトルの内積計算も、誤差なく計算できる方法が考え出された。

これの典型的な応用は、行列計算である。すなわち、建築構造計算、機械学習、自動制御、金融工学などさまざまな分野で、行列計算は必須である。行列計算でも、精度保証つき数値計算のアルゴリズムが考え出されて、行列の積や固有値の計算が、精度保証つきで行えるようになった。

そこまでは分かるが、なんと、流体のナビエ・ストークスの方程式や、カオスの計算にも、精度保証つき計算の手法が考慮されている、という。確かにカオスにおいては、ほんの初期値のちょっとした誤差が、その後の軌跡のずれに大きく貢献することが知られていて、それゆえに、精度保証つき計算の必要性は分かる。しかし、カオス、特にローレンツのアトラクタで、精度保証つき計算が試みられたが、直裁的な方法ではうまくいかず、部分的に精度保証つき計算を行うことと、計算ホモロジー理論の組み合わせという現代的にな手法も案出されたが、特定の方程式で成功した、という段階であるにとどまる。

ナビエ・ストークスの方程式の場合は、射影とその構成的誤差評価により、精度保証つき計算を与えるということだが、こんな分野もあるのか、と感心する以外、如何ともし難い。ともかく、計算数学というのは、計算機科学と一部かぶるけれども、やはり数学の一部であると認識した次第である。

2009年1月 5日

関孝和の業績

数学セミナーの2008年12月号に、現代数学と関孝和との関係が特集されていたので、メモしてみる。

先ず、関孝和の数学学習の出発点は、南宋時代の中国の数学書、「楊輝算法」である。これは、あまり高度なものではないが、連立一次合同式、算木による数値計算、整数や分数の性質を述べたものであり、この書物によって関孝和は、基礎固めしたものと思われる。

ところで、中国数学の最高峰は、元の時代の朱世傑の「算学啓蒙」に典型的に記述されている、天元術であった。これは要するに、未知数が1つの代数方程式である。実際、高次代数方程式の数値解を求めることは容易ではない。中国数学では、天元術の一環として、算木を使って平方根や立方根を求める方法も確立されていた。

このことから分かるように、中国数学は南宋で発達して、元の時代に隆盛を向かえたのであるが、明の時代には廃れてしまった。これは意外で、明という時代は、歴史書によると、唐と並んで、中国史の最もきらびやかな時代の一つである。それは、明が建国されるときに、多数の知識人が殺されてしまったからだというが、文化大革命のようなことが明の時代の当初にあったのだろうか。

こうして、明の時代には、「楊輝算法」も「算学啓蒙」も遺失してしまったが、なんと幸いにも朝鮮にはこれらの書物が伝来して保存されていた。そして、豊臣秀吉の朝鮮出兵のとき、これらの書物が日本に持ち帰られたのだ、という。すると、朝鮮に関孝和のような人材がいてもいいはずなのに、そういう数学の伝統があるとは聞かない。中国から科挙を取り入れて、人文科学に偏ってしまったのだろうか。そして、そのことが、未だに韓国から科学分野のノーベル賞が出ない理由なのだろうか、と穿った見方をしてみたくなる。

さて、日本では、17世紀末に、大阪の数学者、沢口一之が天元術をマスターして、天元術を発展させた、高次多元連立代数方程式とでも現代なら呼ばれる問題を作った。これに挑んだのが、「楊輝算法」で実力を磨いてした関孝和である。ただ、沢口一之は、数値解を求めることを期待したが、関孝和は、数値解ではよしとせず、一般的な式変形を含む解法を提供することで、応えた。このあたりに、関孝和の現代性を垣間見ることができる。しかし、沢口一之は、解法に価値を見出さず、数値解を与えないのは解けたことにならない、と評価しなかった。

すなわち、関孝和の主要な興味は、解に至るための式変形である。このため、現代数学で終結式と呼ばれる概念に関は想到した。終結式とは、2つの組の連立代数方程式が与えられたとき、その2つが同値である場合の係数の関係を示す式であり、このとき、行列式の概念が必要となる。関孝和は、行列式の概念を世界で最初に考案した。同時代にライプニッツも行列式の概念に至っていたらしいが、きちんと出版して公開したのは、関孝和の方であった。

ところで、この関孝和の代数方程式の変形理論をあと少しだけ拡張すると、現代数学でグレブナー基底と呼ばれている概念になる。グレブナー基底とは、高次多元連立代数方程式において、多項式の基底の組のことである。このような基底がみつかると、高次多元連立代数方程式を変形して解きやすくすることができる。例えば、コンピュータで数式処理は今や、普通に解かれるが、そのとき、グレブナー基底が裏で活躍している。

以上の業績は、有限次元の代数方程式に関するものであるが、関孝和のもう一つの顕著な業績は、無限次元の代数方程式とでも言うべき、無限等比級数である。関孝和は、公比が1より小さい場合の無限等比級数の値を正確に計算していた。また、円に内接する2n角形の週の長さとして、円周率を値を計算した。

こういう代数方程式の計算は、決して簡単ではないが、概念としては比較的分かりやすい。そういう意味では、関孝和から約100年後のガロアによる代数方程式の有限体や拡大体の概念は、抽象的で、現代にあっても決して分かりやすいものではない。18世紀の関孝和にそれを求めるのは酷であるが、もう少し後に生まれたら、何か新しい概念を、関孝和も思いついたかもしれない。行列式やグレブナー基底につながるようなオリジナルな業績自体、半端ではないからである。

そういう意味では、関孝和の高弟、建部賢弘は、関孝和の業績を精密化する方向で成果を挙げた。例えば、arcsin2xの無限級数展開を与える、円周率をより速い収束で求める、などである。

建部賢弘は、概念的に新しさを打ち出すという点で、関孝和に及ばなかったが、それでも、精密思考を普及した、という点で大きな業績があったと思われる。この伝統の上に、明治時代の類体論の高木貞治がいたし、今に至る日本の偉大な数学の伝統の源となっていると思われる。

2009年2月11日

グロタンディーク

数学ファンの私にとって、代数幾何の開拓者、グロタンディークは真のビッグネームであって、ろくにその業績も知りもしないくせに、もしかして20世紀最大の数学者なのかも、と勝手に思ったりしている。

そう思っていたら、先日本屋に立ち寄ったときたまたま、アミール・D・アクゼルの「ブルバキとグロタンディーク」日経BP社、水谷淳訳を発見したので、直ちに買って読み始めた。

そこで、その生い立ちから自分用のメモとして書いてみる。

アレクサンドル・グロタンディークは、1928年3月28日に、ベルリンで生まれた。今生きていれば、80歳である。「生きていれば」というのは、生きているかどうか、誰も知らないからである。すなわち、1991年の3月に、忽然とピレネー山中に隠遁してしまい、その後、ほとんど会った人もいない。

さて、グロタンディークの両親は、どちらも革命家で、つねに秘密警察に付け狙われる立場だった。ベリンにいて、ナチスが台頭してくると、ユダヤ人である彼らは、いよいよドイツにいられなくなった。指名手配され、グロタンディークの父は、パリに逃げた。母は、グロタンディークを施設に預けて、夫を追ってパリに行った。いつまでも施設に置けなくなると、母は、グロタンディークを里子に出そうとした。革命の政治活動に、足手まといだったのである。こういう話をみると、後年、グロタンディークがマザコンで母親べったりで、母親が亡くなると落胆して、半年以上もなにもできなかった、というのが信じられない。

ともかく、慈善家のハイドリン夫妻が、グロタンディークを預かってくれた。断ると、この子が生きていられなれないかもと思った。ところが、1933年頃になると、ハイドリン夫妻のところにも、ナチスの魔の手が延びてきた。すると、ユダヤ人然としたグロタンディークを庇いきれなくなり、ハイドリン夫妻は、パリにいるグロタンディークの両親に連絡をとった。

それで、やっと、パリで、親子水入らずで暮らすようになる。しかし、フランスはドイツ軍に破れ、傀儡のヴィシー政権になっていた。それで、一家は収容所送りになる。特に、グロタンディークの父は、アウシュヴィッツに送られ、そこで1942年に亡くなってしまった。ガス室に送られたのだろうか。

不幸中の幸いだったのは、母とグロタンディークは、比較的厳しくない、フランスのリュークロ収容所に送られたことである。そこで、グロタンディークは高校にも行くことができ、そこで数学的才能の萌芽があらわれた。すなわち、グロタンディークは、異常な集中力で、数学の問題に取り組んだ。そして、その他のことは完全に無視した。

そこから、母子は別々の収容所に移され、母子が再会したのは、1945年5月の、欧州における終戦の後だった。母子は、南フランスのメザルクという町に住み、グロタンディークは、フランスでもレベルの低いとされるモンペリエ大学に入学した。そこで数学を専攻するのだが、グロタンディークは、授業のレベルが低すぎて困ってしまう。それでも異常な集中力で勉強し、大学を出ると、パリに行くための奨学生に応募した。その試験に優等で合格すると、パリのエコール・ノルマル・シュペリエールで、アンリ・カルタンの講義を聞くという幸運を得た。ここからグロタンディークは、一気に数学の実力をつけた。そして、ブルバキと呼ばれる数学者集団と出会う。

ブルバキのメンバーたちは、流石に、グロタンディークの傑出した数学の才能を見抜いた。そのことで、デュドネなどは尊敬してうまく付き合ったが、親分格のアンドレ・ヴェイユとはどうもウマが合わなかった。どうも、ヴェイユが、グロタンディークの才能に嫉妬したらしい。

実際、ブルバキのメンバーたちは皆、難しい数学を理解したり、立派な数学書を書く程度には優秀だったが、グロタンディーク程は、数学をつくりあげる才能はなかった。このため、グロタンディークは次第に孤独に沈殿して、思索を深めることとなった。

グロタンディークが最初に打ち込んだのは、位相群論、あるいは連続群論と呼ばれる分野である。理論物理学では、よく使われる数学的道具である。

しかし、グロタンディークを何と言っても特徴づけるのは、1957年から始まる、代数幾何のスキームの理論である。そこからグロタンディークは、トポスの理論を考え出し、既に知られていた圏の理論と組み合わせて発展させた。結局、グロタンディークの業績は、数論、代数幾何、位相幾何を統合するものだと評される。

グロタンディークにとって幸運であったのは、あるフランス人実業家が、1957年後半に、米国のプリンストン高級研究所に倣って、パリに、高等科学研究所を設立したことである。ここに直ちに、デュドネとグロタンディークが教授に任命され、ここで研究を開始することができた。

こうして、1960年代を通じて、グロタンディークは、フランスでは最も才能のある数学者であった。

ところが、1968年頃に転機が生じた。グロタンディーク40歳の頃である。当時、グロタンディークは昼夜分かたず数学に没頭していたので、健康を害し始めていた。そんなときソ連(当時)がプラハを侵略し、パリでは政治的な抗議行動が沸騰した。幼児体験もあってか極端に反戦主義のグロタンディークは、これを機に、興味を、数学から政治にシフトしてしまう。そしてベトナムを訪れたり、反戦集会に参加したりするようになった。そして、数学のことを聞かれても政治を語るようになった。

1970年にグロタンディークは、高等科学研究所に、政府の軍事部門からの資金が流れ込んでることを知り、高等科学研究所を辞職してしまう。その後、いくつかの大学の教授職につくのだが、講義を聞く方は数学の話を期待しているのに、環境だの政治だのの話しかしない彼は、直ちに大学をクビになった。

こうして、1991年の3月の忽然の失踪となる。勝手な予想だが、グロタンディークは、辛い幼少体験をばねに、10数年、異常な集中力で努力してきて、1968年になってとうとう、才能が枯渇してしまったのではないか。前に書いた才能の枯渇理論によると、複数本の井戸を掘るのがよいのだが、グロタンディークにあっては、一本のとても深い井戸から容赦なく汲み上げたのだろう。それは、並外れて豊かな湧水の井戸なのだが、グロタンディークの汲み上げ方には追いつかなかった。最早数学のアイデアが浮かばないと分かったグロタンディークは、どれほどのショックだったろう。歌を忘れたカナリアどころではない。その空白を、政治と環境の問題が埋めた。もともと、戦争に蹂躙された幼少年時代を送っており、戦争はトラウマである。忽然と、トラウマが甦ってきて、数学的才能を圧倒した、とも考えられる。

それでも、1970年からもグロタンディークは、深い思いを書き溜めていた。数学のことも含まれていた。間欠的に数学のアイデアは浮かび上がってきていたのだろう。しかし、1991年の失踪直前には、グロタンディークは、その数万枚の草稿を燃やしてしまった。誰かに見つかって出版でもされるのが忍びなかったのだろう。

仙人のようにピレネー山中に隠遁するグロタンディークの思いを窺い知ることはできない。そもそも、それほど資産があった訳ではあるまい。すると、1991年から15年以上も生き延びれているとも思えない。それでも、2003年の時点では誰かが会って生きているのは確認したという。しかし、それから5年、とっくに野垂れ死んでいるのではないだろうか。そうであっても、忘れ去られるには偉大すぎるのが、グロタンディークの誤算である。

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