リーマン予想

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リーマン予想について一度自己用のメモを作っておこうと思っていたら、最近、「リーマン予想は解決するのか?」黒川信重/小島寛之、青土社という格好の本が出た。それで、この本と手許のいくつかの本をベースにメモしてみる。

数学の難問の最高峰とされるリーマン予想であるが、その淵源は、17世紀のベルヌーイ家あたりに遡るらしい。ベルヌーイ家は、1/12+1/22+1/32+... のような無限級数の値を考えていて、それが簡単に解けないので思案していた。ベルヌーイ家はバーゼルにいたので、それはバーゼル問題とも呼ばれた。

ここで颯爽とあらわれたのが、天才オイラーであった。オイラーは苦心のすえ、1/12+1/22+1/32+... の値をπ2/6と計算した。単なる普通の整数の逆数の無限級数にπが出てくるとはなんとということだ、とオイラー自身も感嘆したことに違いない。オイラーは、2乗の場合だけでなく、4乗の場合も計算した。ただ、黒川信重氏によると、奇数乗の場合の級数の値はとても難しいそうである。

オイラーはもちろん、この計算だけに満足したのではない。下記のような一般的なs乗の場合に無限級数の式を一般化した。

さらに非自明にも、オイラーは、無限級数の積表示を与えた。この積表示の特徴は、和表現が自然数全体を亘るのに、なんと素数だけを飛び飛びに亘ることである。なおここではまだ、ゼータ関数という呼び名はない。それを与えたのは、後年のリーマンである。

ところで、18世紀には、ガウスなどによって、素数分布に関心がもたれた。素数分布とは、ある自然数nを与えたとき、nまでの素数の個数を与える関数π(n)を考える、ということである。ここのπは、円周率とは何も関係ない。ガウスはそれを、おおよそn/logn程度だろうと予想した。

一方で、ディリクレは、解析的数論の礎を築いた。例えば、4n+1のように記述することのできる素数が無限にあることを証明した。

19世紀に登場したリーマンは、このような背景で、素数分布の問題に解析的数論を適用しようとした。そこで着目したのが、オイラーによって定式化され、自らの命名になるゼータ関数である。リーマンはまず、解析的接続により、ゼータ関数を複素数まで拡張した。すなわち、下記のsが複素数の範囲にひろげられた。

さらなる研究によって、リーマンは、π(n)を、ゼータ関数の零点の和と書き下した。そこで、リーマンは予想する。ゼータ関数の本質的零点は、実部がすべて、1/2である、というものである。それを示唆するのは、ζ(s) = ζ(1-s)のようなゼータ関数の性質にある。式で書くと、次のようになる。
∀s∈C, ζ(s) = 0 ⇒ Re(s) = 1/2

この式をみて、それの証明が超絶的に難しいとは直感的には思えない。実際、スチルチェス積分で知られているスチルチェスは、リーマン予想を証明できた、と勘違いした。ヒルベルトも、その23の問題において、リーマン予想を、フェルマ予想よりもずっと早く解けると認識していた。

20世紀になって、ラマヌジャンを見出したことで知られる、イギリスのハーディが、リーマン予想上で、画期的な業績をあげた。実部がすべて、1/2である本質的零点は、無限個ある、という証明を与えたのである。ところが、余計なことに、ジーゲルがリーマンの遺稿を整理していて、ハーディのその実績と同じものを発見した。ハーディは、リーマンの掌上で踊っていたのである。

リーマン自身に対する本質的な進歩を示したのは、セルバーグであった。1942年に、セルバーグは、実部がすべて1/2である本質的零点が全体の何%を占める、という実施的割合を与えた。測度論的にいえば、ハーディが与えたのは、合わせても測度0である。セルバーグによって初めて、測度0でない、実部がすべて1/2である本質的零点の割合が与えられた、ということになる。

ゼータ関数については、リーマンのゼータ関数から分岐して、アンドレ・ヴェイユなどによって与えられた合同ゼータ(有限体上のゼータ)、セルバーグ・ゼータなどがある。これらの上では、リーマン予想に類似するものが既に証明されている。もう1つハッセ・ゼータ(Z上のデータ)があり、ここの上での研究が、本来のリーマン予想の解決につながると見られている。

ところが最近になって、黒川信重氏などによって、モノイド(F1)上のゼータが提唱され、これが、リーマン予想解決の糸口を与えるのではないか、と考える一群の人がいるようである。しかし、事情のさっぱり分からない一アマチュアとしては、ただ黙って見守るよりない。

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コメント(8)

よく理解できませんが、素数という自然数の分布が何故複素平面上での位置で表されるのでしょうか。そもそも複素数とはから始めないといかんですね。a+bi・・・

ISSEIさん

ガウスの複素整数という概念があるらしいですが、私も不勉強でよくわかりません。

物理と数学のかきしっぽ

っていう本で

リーマン予想の同値命題

メビウス関数の和のやつ

を証明しました

論文を書きました

見てみてください

http://taibuturi.fuma-kotaro.com/

taiさん

私の能力では、ちゃんとは理解できませんが、なんかすごい論文のように思われます。

http://taibuturi.fuma-kotaro.com/

の一番したのpdf

コラッツ予想

という80年間未解決の問題の

部分的な解決です

難しくはないです

見てみます?

taiさん、
貴重な論文の紹介、ありがとうございます。
私に理解できるかどうかわかりませんが、読んでみます。

あなたが

一番最初に

私に反応して

くださいました

ありがたいなあ

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このページは、あやたろうが2009年7月24日 07:08に書いたブログ記事です。

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