社交数

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コメントでも指摘して戴いたが、友愛数の拡張としての、社交数に言及することにする。社交数というのは、完全数などと比較して、分かりにくい。

nの約数の和を表す関数を、オイラーに従い、σ(n)と置く。σ(n)には、n自身も含まれる。そこで、
σ0(n) = σ(n) - nと置く。

そして、σ0(σ0(n)) = nであるとき、nは周期2の社交数である、という。定義により、完全数は周期1の社交数である。また、友愛数は、周期2の社交数である。
なぜなら、定義により、σ0(n) = m且つ、σ0(m) = nなので、σ0(σ0(n)) = σ0(m) = nである。
σ0(σ0(σ0(n))) = nは周期3であり、以下同様である。

そこで問題:
(1) 周期3の社交数は存在しない、と予想されている。正しいか? これの証明は知られていない。なお、ポアンカレの定理ではないけど、ここでも3かよ、である。
(2) 周期4以上の社交数は無限に存在する、と予想されている。正しいか? これの証明は知られていない。

この問題の難しさの一端には、n → σ0(n)という写像の見通しの立たなさがある。ナイーブに考えると、σ0(n)を求めるには、約数を足しこむよりなく、それをどうやって解析数論の土俵に引きずり出すのだろうと訳のわからないことを考えてしまう。

下記に、社交数を求めるCのプログラムと、その結果を示す。すると、周期1と2のものは「自明」だからいいとして、周期5が12496, 14264, 14288, 14536, 15472、周期28が14316, 17716, 19116, 19916などというものがいきなり出てくる。特に、28なんて突然、何なのよ、というところである。また、確かに周期3は見る影もない。

あと、実は、14264, 14288, 14536, 15472は、12496と独立ではない。調べてみたら、12496にσ0を1回作用させると14288になり、2回作用させると15472になり、3回作用させると14536になり、4回作用させると14264になる。だから、12496があるのに、14264, 14288, 14536, 15472も併せて報告すると恥をかくことになる。逆に言うと、(14264, 14288, 14536, 15472, 12496)が全て仲間である、というのが、社交数のもともとの意味なのであった。

同様に、17716, 19116, 19916は、14316と独立ではない。調べてみたら、14316にσ0を1回作用させると19116になり、26回作用させると19916になり、27回作用させると17716になる。もちろん。これ以外にも、17716, 19116, 19916,14316には、あと24個の仲間がいる。それを並べると、下記のとおりである。周期の順番も付記した。

(1: 19116, 2: 31704, 3: 47616, 4: 83328, 5: 177792, 6: 295488, 7: 629072, 8: 589786, 9: 294896, 10: 358336, 11: 418904, 12: 366556, 13: 274924, 14: 275444, 15: 243760, 16: 376736, 17: 381028, 18: 285778, 19: 152990, 20: 122410, 21: 97946, 22: 48976, 23: 45946, 24: 22976, 25: 22744, 26: 19916, 27: 17716, FINAL : 28, 14316)


ところで、ものの本によると、周期3以上の社交数は、今まで171個みつかっていて、そのほとんどは周期4だという。すると、とりあえず計算してみた20000以下のところは、周期5と周期28しかない(しかも、一つずつ)という点で、社交数にとってかなり特殊な世界ということになる。

さらに追加の問題:

(3) 周期28の社交数は、14316とその仲間しかないと予想するが、正しいか。これは、いかにも他にもありそうであるが、そうである可能性もなくはないと思う。もちろん、証明は、私の手に余る。

ところで、周期4であるが、自力では探しきれなかったので、ネット上でカンニングしてみた。下記の1264460が周期4の最小のものである。
1: 1547860
2: 1727636
3: 1305184
FINAL : 4, 1264460

// 結果
order 1 : sociable number 6
order 1 : sociable number 28
order 2 : sociable number 220
order 2 : sociable number 284
order 1 : sociable number 496
order 2 : sociable number 1184
order 2 : sociable number 1210
order 2 : sociable number 2620
order 2 : sociable number 2924
order 2 : sociable number 5020
order 2 : sociable number 5564
order 2 : sociable number 6232
order 2 : sociable number 6368
order 1 : sociable number 8128
order 2 : sociable number 10744
order 2 : sociable number 10856
order 2 : sociable number 12285
order 5 : sociable number 12496
order 5 : sociable number 14264
order 5 : sociable number 14288
order 28 : sociable number 14316
order 5 : sociable number 14536
order 2 : sociable number 14595
order 5 : sociable number 15472
order 2 : sociable number 17296
order 28 : sociable number 17716
order 2 : sociable number 18416
order 28 : sociable number 19116
order 28 : sociable number 19916

// プログラム
#include <stdio.h>


int sigma0(int n);

int main()   {

int i,j;
int k;

for ( i = 2; i < 20000; i++ )   {
 k = i;
  for ( j = 1; j < 30; j++ )   {
    k = sigma0(k);
    if ( k == i )    {
  printf("order %d : sociable number %d\n",j,i);
  j = 30; // to exit the j-loop
 }
  }
}

 return 0;
}

int sigma0(int n)  {
 
 int i = 1;
 int s = 0;
 
 while ( i <= n/2 )     {
  if (( n % i ) == 0 )   {
 s += i;
  }
  i++;
 }
 
 return s;

}

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このページは、あやたろうが2009年8月22日 07:47に書いたブログ記事です。

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