グロタンディークの業績

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かなり前に、グロタンディークの生涯について簡単にメモした。数学セミナーの5月号に、グロタンディークの業績の紹介があったので、私に理解できるはずもないが、今後の自分の参考にするため、同様にメモしてみる。

この記事によると、グロタンディークの業績は、次のようにリストされる。

  1. 層のコホモロジー(Tohoku)
  2. スキーム(EGA)
  3. 基本群(SGA1)
  4. エタール・コホモロジー(SGA4,5)
  5. リーマン・ロッホの定理(SGA6)
  6. モノドロミー(SGA7)
  7. モチーフ
  8. 遠アーベル幾何
  9. p進コホモロジー
これで尽きている訳ではないだろうが、素人の哀しさ、私に分かりようもない。

代数幾何の分野のでのグロタンディークの先駆者に、ヴェイユ、カルタン、セールなどがいる。ヴェイユは、代数幾何的方法を数論に導入した。セールは、ヴェイユの示唆を受けて、高次元多様体の理論のためコホモロジーを導入した。

さて、上記Tohokuとは、日本の東北大学のことである。すなわち、グロタンディークの層、圏、コホモロジーという20世紀の抽象数学の華を扱う論文が、1957年に東北大学の「東北数学雑誌」に掲載された。この論文で、グロタンディークは、一般の位相空間で、層係数コホモロジーを扱うために、アーベル圏の理論を構築した。これは後のスキームの理論、エタール・コホモロジーへの道を開くものである。

次のEGAは、「代数幾何原論」である。これは、任意標数の代数閉体上の代数多様体の理論の一般化である。この本で、ブルバキ流の構造付きの集合という概念が時代遅れになった。すなわち、グロタンディークにとって、数学の対象とは、表現可能な関手を表現する圏の対象である。

SGA1では、代数的基本群とは何かということを追求する。そして、基本群とガロア群は同じである視点で、圏論的に根の置換を扱った。

SGA4,5では、エタール・コホモロジーを定義し、合同ゼータ関数の有理性と、関数等式を証明した。エタール・コホモロジーは、セールによる代数幾何におけるファイバー束の定義を拡張したものである。

SGA6では、リーマン・ロッホの定理を扱うものであり、グロタンディークの華々しいデビュー作であるが、実はボレルとセールが論文を書いた。この論文も、関手の射として書かれている。射というところに、グロタンディークの特徴がよく出ている。

SGA7は、一次のエタール・コホモロジーを調べ尽くし、局所体上のアーベル多様体について、その還元がガロア群の作用で統制されるという安定化定理を証明する。これは、後のp進コホモロジーやモチーフの発想のオリジンとなっている。

グロタンディークのスタイルというか、凄いのは、ワイルズによるフェルマーの定理の証明のような、証明の定理を追い求めるというよりも、理論を構築するうちに自然に定理が得られたというところにある。

哀しいというか仕方がないのかもしれないのは、グロタンディークが数学的に多産であった時期は、十数年しか続かなかったということである。前にも書いたが、井戸から数学的発想を汲み上げすぎたのかもしれない。ところが物理学のアインシュタインも、創造の10年と言われる。裏を返せば、その10年以降は、涸れていたということである。すると、10年間汲みに汲むと、どんな才能も涸れてしまうということなのだろうか。それなら手加減しつつ汲めば長持ちするかというと、結局、生涯を通しての業績の積分値としては、10年間集中するよりも質・量とも劣るかもしれない。私のような凡才が何を言っても意味がないが。

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コメント(2)

変人ですからIHESの資金が軍に左右されるのを嫌い
反戦運動みたいのをしたみたいです
父親が革命家で母親が没落お嬢様?だったか???
僕は優等生なドゥリーニュみたいな生き方より
かっこいいと思いますけど
朝から晩まで狂ったように数学をやってたと
広中さんが言ってました

うむ、健太さんもグロタンディークのファンてしたか。それは、幸い。

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このページは、あやたろうが2010年5月23日 06:04に書いたブログ記事です。

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