ルベーグ積分

| コメント(0) | トラックバック(0)

大学に入学したとき、一般教養の数学の教授が、高木貞治の「解析概論」がとてもためになる、と勧めていた。寝転がって読めるような本じゃないけどね、と。

学問に燃えていた私は、高木貞治の「解析概論」を早速買って、夏休みに、それこそ寝転がって、計算もしながら読んだ。結局粗くではあるが、半年くらいかかって読了しようとしたら、最後の章が「ルベーグ積分」だった。へぇ、どんな積分の計算なんだろうとページをめくると、なんと、抽象的な集合演算しか出てこない。ブルバキ数学原論で集合演算の修行をした後ならともかく、当時の私にはまったく歯が立たず、ほうほうの体でページを閉じた。前の方の章のルジャンドルの多項式などの話にはまったくついていけなくもなかったのに、である。

それから幾十年が過ぎ、最近自分の部屋の中で、吉田洋一「ルベク積分」培風館新数学シリーズをふと眺めてみることにした。以下、それのメモである。

abf(x)dxのような定積分がどうやって定義されるかは自明である。すなわち、a = x1< x2<...xi< xi+1<... < xn< = b であるようなxi i = 1,...nを選ぶことができて、それによって区間Δ : [x1,x2],[x2,x3],...,[xi,xi+1],...,[xn-1,xn]が決まる。

そこで、ξi∈[xi,xi+1]のような取り方は、区間[xi,xi+1]内で自由度があるけれども、ともかく、 SΔ = ∑i=1n-1f(ξi)[xi,xi+1]という和を考える。

次に、ρ = maxi(xi+1 - xi)で、ρ→0という極限を考えると、それは、区間Δを無限に細分化していくことを意味する。そのとき、SΔが、区間内のξiの取り方によらず一定のIに収束するとき、∫abf(x)dxをリーマン積分可能である、という。

これは、高校から習う積分の定義そのものであって、この定義だけで何も不自由はないように思われる。ところが、まるでわざと病的な例を挙げるようであるが、直感的に何が問題があるのか、というような普通の場合に、リーマン積分は破綻してしまう。すなわち、F'(x) = f(x)のような関数F(x)は、fの原始関数と呼ばれるが、なんと、f(x)が原始関数をもち、且つ、f(x)が[a,b]で有界であっても、f(x)が[a,b]でリーマン積分可能でないような反例が存在する。また、収束する関数列が個別にリーマン積分可能であっても、極限の関数がリーマン積分可能でない反例が存在する。ただ、f(x)が[a,b]で有界であっても、f(x)が[a,b]でリーマン積分可能でないような反例というのは、解析学の泰斗であるヴォルテラによって用意されたヴォルテラの反例と呼ばれるが、非常に複雑で、無理やり作った反例としか思えない。とはいえ数学において、反例とは無理やりつくるものなのであった。

そこで、このような扱いにくさを解消するために、ルベーグが考えだしたのが、ルベーグ積分である。リーマン積分では、定義域を区間に細分化したが、逆転の発想で、ルベーグ積分では、f(x)の[a,b]でとりえる値の範囲l < f(x) < Lを考え、[l,L]という値域を次のように細分化する。

l = y1< y2<...yi< yi+1<... < yn< = L

そこで、区間Δ : [y1,y2],[y2,y3],...,[yi,yi+1],...,[yn-1,yn]を選び、μi∈[yi,yi+1]によって、μiを選ぶと、SΔ = ∑i=1n-1μim(Ai)という和を、ρ = maxi(yi+1 - yi)で、ρ→0という極限を考える。そして、SΔが、その極限である値Iに収束するとき、ルベーグ積分可能という。ただ、ここで、Aiと、m()がまだ未定義であった。すなわち、Aiは、区間[yi,yi+1]の点集合、m(Ai)は、点集合Aiの測度、すなわち、大きさの抽象化された概念である。このようなルベーグ積分を以ってすれば、ヴォルテラの反例は最早起こらないし、収束する関数列が個別にルベーグ積分可能であれば、極限の関数がルベーグ積分可能であるといえるようになる。

しかし、点集合から実数への写像である測度の定義はまだ与えられていないし、なぜヴォルテラの反例がルベーグ積分では解消されているかという証明も非常に難しい。

ところがなんと、あのグロタンディークが大学生の時代に、積分の不備に気付き、独力で編みたしたのが、ルベーグ積分と同一の概念だった。そもそも、普通のリーマン積分の不備に気付くことすら、常人には難しい。もちろん既にルベーグが構築した後なので、何ら業績にはならないが、それでも、グロタンディークの天才性は彷彿とさせる。

以上、ルベーグ積分入門のための自己メモであった。

トラックバック(0)

トラックバックURL: http://commutative.world.coocan.jp/mt/mt-tb.cgi/1864

コメントする

このブログ記事について

このページは、あやたろうが2010年6月29日 00:54に書いたブログ記事です。

ひとつ前のブログ記事は「性同一性障害」です。

次のブログ記事は「宇宙人」です。

最近のコンテンツはインデックスページで見られます。過去に書かれたものはアーカイブのページで見られます。