ガロア

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数楽者でガロアに興味をもたないとしたら、それは「もぐり」である。しかし、数楽者の必要条件は自称することだけなので、数楽者にもぐりはない、という矛盾が生じる。

ともかく私は、数楽者としてガロアにひとかたならない興味をもってきた。ガロア理論なんとかという本も何冊も買ったし、有名なインフェルト著の「ガロアの生涯」市井三郎訳、日本評論社も、ざっとは読んだ。しかし、素読ならぬ、得意の粗読で、ガロア理論のなんたるかはおろか、ガロアの生涯の概要もほとんど理解していない。

そこで、仕切り直しのつもりで、「ガロア」加藤文元著、中公新書を読むことにした。以下、私なりの要約とコメントである。

エヴァリスト・ガロアが、パリの近郊に生まれたのは、1811年のことである。それは、ブリューメルのクーデターでナポレオンが復活し、帝政を完成させた時代であった。

エヴァリストの父、ニコラ・ガブリエル・ガロアは、学校経営者で、ナポレオンを支持する共和主義者だった。

エヴァリストの母、アデリート・マリ・ドマントは、ガロア家のそぼのドマント家の娘であった。ドマント家は、教養豊かな名家で、先祖に何人もの位か高い人がいた。そんななかでアデリート・マリは、ラテン語や文学をみっちり教育され、美貌もそなえた才色兼備の女性だった。

これはまさに、名家どうしの祝福された結婚であった。ニコラ・ガブリエルと、アデリート・マリの間には、三人の子供が授かった。1809年に長女のナタリ・テオドール、1811年に長男のエヴァリスト、1814年に次男のアルフレッドが生まれた。

子供時代のエヴァリストは、社交的で明るい性格だった。また、教養ある母親から、ラテン語、文学などを11歳になるまで学んだ。少年時代の教育としてはそれは十分なものであった。

ところが、1814年に王政復古になると、父親が共和主義者であるガロア家も蔭ってきた。1815年にナポレオンがパリから戻ってきたのは、ニコラ・ガブリエルにとって事態の好転であった。そしてニコラ・ガブリエルは、その年に、ナポレオンから村長に任命された。

しかし、ナポレオンの天下は100日しか続かない。ナポレオンが再び幽閉されたとき、ニコラ・ガブリエルは、村長を降りようとした。少なくとも、続けるには、きちんと再任される必要があると思った。が、なぜかずるずると留任して、王政主義者にいろいろと嫌がらせを受けるようになった。

一方、ガロアは、11歳のとき、家許を離れて、ルイ・ル・グランのリセ(高等中学校)に入学した。ルイ・ル・グランは後年、ポアンカレ、アダマール、エルミートなどの大物数学者を輩出した名門である。

その大層厳しい規律にも拘わらず、ガロアは、最初の2年は優等の成績を収めた。母親の教育の成果もあったのだろう。ところが、3年目にさしかかるとき、次第に成績が下がってきた。原因は不明である。ここで、必ずしも成績だけが理由でないにしても、教師の配慮で、1年留年させられた。ここらあたりから、ガロアの反抗的態度があらわれてきた。しかし、留年も悪いことばかりではなく、ここで数学との決定的出会いを果たす。それは授業で使われたルジャンドルの幾何学原論であった。それは、普通の生徒が2年もかかって理解するような内容であるが、ガロアはなんと、その本をたった2日で、小説でも読むように読了してしまう。そこから数学以外の科目に対する興味が失われ、数学に没頭する日々となった。

ルジャンドルの幾何学原論に飽き足らず、次に読み始めたのが、ラグランジュの「任意次数の数値方程式の解法」であった。ここからガロアは後年の、ガロア理論のヒントを得る。

自らの数学の才能に自信をもったガロアは、エコール・ポリテクニークを受験するが、落ちてしまう。その理由は、エコール・ポリテクニーク側がガロアの才能を見抜けなかったというよりも、ガロアの準備不足がメインだった。

合格できなかったのでリセに戻ったガロアは、ふてくされて不良化し、攻撃性も帯びてきた。いわゆる札付き生徒である。そんなガロアの数学的才能を高く評価してくれたのが、リセのリシャール先生であった。ガロアは、理解を得て、数学に専心し、代数方程式の可解性に関するガロア理論の論文を書き上げた。リシャール先生はそれを、当時のフランス数学界の第一人者、コーシーに提出した。

このとき、インフェルトの「ガロアの生涯」などでは、コーシーは、ガロアの論文を読みもせず、遺失したということになっているが、史実はどうも違うらしい。すなわち、コーシーは、ガロアの論文をきちんと読み、その凄さも理解したのだという。そもそもが、他人の業績など関知しないコーシーが、アカデミーの席で、ガロアの論文の内容にわざわざ言及したのだという。

ただコーシーは、どうも、アーベルの類似の論文も知っていたようてある。確かにアーベルの論文との違いはあるので、そこを明確化するようにガロアに指示した節もあるという。

しかし、1829年、ガロアを悲劇が襲う。村長の職にあった父親、ニコラ・ガブリエルが、神父や王政派からの度重なるいやがらせで、自殺してまったのである。喪主を務めたエヴァリストの気持ちやいかに、いよいよ反政府派に傾倒してくるのである。

あまりにも間が悪いのだが、父親の死の少し後で、二度目のエコール・ポリテクニークの受験があった。このときは、不適切な試験官の対応に業を煮やして、ガロアはまたしても試験に落ちてしまう。反政府主義者のガロアを落とせという指示があったという説があるが、なにしろ試験準備をしていないのだから、落ちるのも仕方ないという説もある。数学の天才として確立した評判があるのだからなんとしても合格させるべきだったのにという意見もあるが、数学での一芸入試ではないのだから、仕方がないのかもしれない。

ともかくも生活の手段に事欠くので、奨学金がえられるエコール・ノルマルを受験しようとする。しかし、前述のとおり試験勉強はしていないし、なにしろ受付期間を徒過しているのである。本来なら受験さえできないはずなのに、また、まともに受けても無理のはずなのに、数学の天才であるということで、いろいろな手を打って、リシャールが推薦を取り付け、むりやりエコール・ノルマルに合格させた。すると、とりあえず、生活費の給付がえられた。ここらあたり、コーシーの口利きがあったのかもしれない。

エコール・ノルマルに合格しても、ガロアの血は収まらない。7月革命が起きると、必死で参加しようとして果たせず、逆に、学校から謹慎処分を受けた。こうしてガロアは一層先鋭化する。

そして校長を揶揄する記事を新聞に投稿したとして、ガロアはついに放校処分になった。もはやガロアは、警察にもマークされる要注意人物であった。

放校になったあと、生活手段が必要なので、ガロアは数学の私塾を開いた時期もあったらしい。それで、多少生徒も集まったのであるが、なにしろ、ガロアの業績の先端のところを話すという内容の高度さもあって、ほんど理解できる人はおらず、続かなかった。内容よりも、ガロアの政治活動が増えすぎたせいかもしれない。

その間、アカデミーに提出していた論文は、またもや、今度はポアッソンによって拒絶されてしまう。

政治集会での不穏な行動で、ガロアは逮捕された。その裁判はなんとか無罪になったが、なにかに理由をつけて、ガロアは投獄されてしまった。

1832年に、パリでコレラが流行し、1万人以上が亡くなるという事件があった。この疫病を逃れるために、ガロアは、もともと収容されていたサン・ペラジー監獄から、フォートリエ療養所に移送された。そこでガロアは初恋する。相手は、療養所の医師、ポトラン・デュモルの娘、ステファニー。しかし、初恋といっても、片思いで全然相手にされなかったようである。

そして1832年5月30日、決闘である。そこで、相手に撃たれて死ぬのであるが、その原因は、陰謀説、自殺説、恋愛説とあって、どれも全く決着がついていない。弟のアルフレッドは、兄の死を、政府の陰謀だったと言って憚らなかったという。札付きの反政府主義者なのだから、当時のフランスの状況に鑑みると、警察が謀殺してもおかしくない。自殺説というのもありえる。なにしろ、父親は亡くなる、学校は放校になる、論文は拒絶される、初恋は振られるで、希望を抱くことはとても難しい。恋愛説もなくはないが、ポトラン・デュモルの娘、ステファニーは淑女で、その辺の売春婦ではない。そもそも相手にされていないのだから、ステファニーを巡って誰かと争うというのはとても考えにくい。こうしておそらく、ガロアの本当の死の理由はずっと、闇の中かもしれない。

さてガロア理論とは一体どんな理論か。私も知らないので、加藤文元氏の説明に拠るとそれは、「数学的対象の難しさを、それに付随した対称性からなるシステムの構造によって記述する学問」だそうである。

代数方程式の可解性はその1つの応用にすぎない。代数方程式においては、「素次数の既約方程式がべき根で解けるための必要十分条件は、根のうち2つを任意にとったとき、他の根がそこから有理的に得られることである。」といいあわらされる。それはより厳密には、群や体という代数的構造の言語を使って記述される。

ガロアは実は、このアイデアの普遍性に気付いていて、解析学の解析学というように言い方をする。月並みな言い方であるが、ガロアは、文字通りのブルバキの先祖であり、政治的なことを理由に数学をドロップアウトしてしまうという点で、グロタンディークは、その直系である。

かくのごとく、フランス数学は、あまりにも偉大である、言うまでもないこと、この上ないが。

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コメント(4)

大学時代、今でも数学で飯を食っている友人にガロアは凄いという話を延々と聞かされました。まぁ数学は嫌いではないので「体って群って何?」と小学生のように聞きまくり彼が言わんとすることを自分なりに理解しようとしましたが、有限体の応用で5次方程式の解の公式は無いことぐらいしか頭に残ってません。土台聞いただけで理解できるなんて虫が良すぎました。

> 有限体の応用で5次方程式の解の公式は無いことぐらいしか頭に残ってません。

大学の学部レベルの数学科では、それがちゃんと理解できれば一人前だそうです。おそらく、数学の研究者になる人以外は、理解しないで卒業する人も多いのではないでしょうか。今高校で数学教師やっている大学時代の同僚も、私の質問に、ガロア理論をまともに説明できませんでした。

>才能を高く評価してくれた
 別に自分に才能があるとか言うつもりは一切ありませんし、実際、私には何の才能もないのですが、今までの人生の中で、若い頃に、私に自信を与えるような評価をしてくれる人と出会わなかったのは、本当に不幸なことだったと思います。
 出会っていたら、もう少し良い方向に人生が変わっていたに違いありません。
 前にもこのブログのどこかで書きましたが、今まで殆ど誰からも何も評価されたり褒められたりせずに生きてきてしまいましたので、自分自身に殆ど自信が持てずに生きております。
 凡人の私から見てもどうしようもない御仁が、「オレ様」と風を肩切って生きているのを見ると、何か幸せな人生を歩んできた人なんだなと、心の底からうらやましくなります。
 いつもながら、関係ない上に不景気な話で、失礼さんでござんした。

> 出会っていたら、もう少し良い方向に人生が変わっていたに違いありません。

南木さんが、ガロアにおけるリシャール先生のような人と出会っていればよかったですね。しかし、ガロアはそれでも、有り余る才能を持て余しながら、軌道に乗れませんでした。青春の鬱勃たるパトスなのでしょうか。

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このページは、あやたろうが2011年1月20日 06:27に書いたブログ記事です。

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