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ランダムネス

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苫米地英人の本でチャイティンを知ったら、たまたま、数学セミナーの2月号は、ランダムネスの特集号だった。なぜ「たまたま」かというと、チャイティンは、コルモゴロフとともに、ランダムネス研究のエースなのである。そこで、数学セミナーの記事を基に私なりにまとめてみる。

ランダムネスの重要な概念に、コルモゴロフ複雑度がある。これは、例えば、直感的には、ビット列を考えたとき、圧縮しにくさのことである。例えば、01010101と01101010では明らかに前者の方が圧縮しやすくて、コルモゴロフ複雑度が低い。

コルモゴロフ複雑度は、厳密には、次のように与えられる。すなわち、チューリングマシンが、プログラムPと入力文字列wを受け取り、文字列sを出力するとすると、コルモゴロフ複雑度K(s)は、(P,w)をあらわす文字列の長さの最小値として定義される。これを式で書くと、K(s) = min{|P||U(P) = s}である。U()は、万能チューリングマシンである。

実数αがランダムであるとは、α↑nを実数αの2進展開のn桁までとしたとき、ある定数cが存在して、K(α↑n) ≧ n - cとなることである。直感的に言うと、どの桁までをとっても、ほとんど圧縮できない数列になっている、ということである。

そこで、チャイティンの不完全性定理は、次のように記述される。
Tを、初等的な算術を含む無矛盾な形式体系とする。すると、理論Tに対して数nが存在して、どんな列sに対しても、K(s) > nは証明されない。

チャイティンの不完全性定理は、ある数nを決めたとき、その理論の範囲ではコルモゴロフ複雑度がnよりも大きいかどうか証明できない文字列sがとれる、ということであるが、これが、苫米地氏の言うように、なぜ神の不存在になるのか、さっぱり理解できない。

数学セミナーの記事には、チャイティンの不完全性定理の証明もあるけれども、私には理解を超えるので、ここには書き写さない。といいつつ、今までの記述を理解できていたということでもない。

さらには、チャイティンのΩというのもある。これは、文字列を任意に与えたとき、それがチューリングマシンを停止させる入力{P,w}をあらわす確率を示すものである。式であらわすと、dom Uを、チューリングマシンUを停止させる文字列の集合とすると、p∈dom Uについて、2-|p|を足していったものである。チャイティンは、Ωはランダムな実数であることを証明した。Ωは計算可能ではないが、具体的に構成される。

チャイティンのΩについては拡張もあるが、流石に限界になってきたので、この辺にしておく。

ガロア

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数楽者でガロアに興味をもたないとしたら、それは「もぐり」である。しかし、数楽者の必要条件は自称することだけなので、数楽者にもぐりはない、という矛盾が生じる。

ともかく私は、数楽者としてガロアにひとかたならない興味をもってきた。ガロア理論なんとかという本も何冊も買ったし、有名なインフェルト著の「ガロアの生涯」市井三郎訳、日本評論社も、ざっとは読んだ。しかし、素読ならぬ、得意の粗読で、ガロア理論のなんたるかはおろか、ガロアの生涯の概要もほとんど理解していない。

そこで、仕切り直しのつもりで、「ガロア」加藤文元著、中公新書を読むことにした。以下、私なりの要約とコメントである。

エヴァリスト・ガロアが、パリの近郊に生まれたのは、1811年のことである。それは、ブリューメルのクーデターでナポレオンが復活し、帝政を完成させた時代であった。

エヴァリストの父、ニコラ・ガブリエル・ガロアは、学校経営者で、ナポレオンを支持する共和主義者だった。

エヴァリストの母、アデリート・マリ・ドマントは、ガロア家のそぼのドマント家の娘であった。ドマント家は、教養豊かな名家で、先祖に何人もの位か高い人がいた。そんななかでアデリート・マリは、ラテン語や文学をみっちり教育され、美貌もそなえた才色兼備の女性だった。

これはまさに、名家どうしの祝福された結婚であった。ニコラ・ガブリエルと、アデリート・マリの間には、三人の子供が授かった。1809年に長女のナタリ・テオドール、1811年に長男のエヴァリスト、1814年に次男のアルフレッドが生まれた。

子供時代のエヴァリストは、社交的で明るい性格だった。また、教養ある母親から、ラテン語、文学などを11歳になるまで学んだ。少年時代の教育としてはそれは十分なものであった。

ところが、1814年に王政復古になると、父親が共和主義者であるガロア家も蔭ってきた。1815年にナポレオンがパリから戻ってきたのは、ニコラ・ガブリエルにとって事態の好転であった。そしてニコラ・ガブリエルは、その年に、ナポレオンから村長に任命された。

しかし、ナポレオンの天下は100日しか続かない。ナポレオンが再び幽閉されたとき、ニコラ・ガブリエルは、村長を降りようとした。少なくとも、続けるには、きちんと再任される必要があると思った。が、なぜかずるずると留任して、王政主義者にいろいろと嫌がらせを受けるようになった。

一方、ガロアは、11歳のとき、家許を離れて、ルイ・ル・グランのリセ(高等中学校)に入学した。ルイ・ル・グランは後年、ポアンカレ、アダマール、エルミートなどの大物数学者を輩出した名門である。

その大層厳しい規律にも拘わらず、ガロアは、最初の2年は優等の成績を収めた。母親の教育の成果もあったのだろう。ところが、3年目にさしかかるとき、次第に成績が下がってきた。原因は不明である。ここで、必ずしも成績だけが理由でないにしても、教師の配慮で、1年留年させられた。ここらあたりから、ガロアの反抗的態度があらわれてきた。しかし、留年も悪いことばかりではなく、ここで数学との決定的出会いを果たす。それは授業で使われたルジャンドルの幾何学原論であった。それは、普通の生徒が2年もかかって理解するような内容であるが、ガロアはなんと、その本をたった2日で、小説でも読むように読了してしまう。そこから数学以外の科目に対する興味が失われ、数学に没頭する日々となった。

ルジャンドルの幾何学原論に飽き足らず、次に読み始めたのが、ラグランジュの「任意次数の数値方程式の解法」であった。ここからガロアは後年の、ガロア理論のヒントを得る。

自らの数学の才能に自信をもったガロアは、エコール・ポリテクニークを受験するが、落ちてしまう。その理由は、エコール・ポリテクニーク側がガロアの才能を見抜けなかったというよりも、ガロアの準備不足がメインだった。

合格できなかったのでリセに戻ったガロアは、ふてくされて不良化し、攻撃性も帯びてきた。いわゆる札付き生徒である。そんなガロアの数学的才能を高く評価してくれたのが、リセのリシャール先生であった。ガロアは、理解を得て、数学に専心し、代数方程式の可解性に関するガロア理論の論文を書き上げた。リシャール先生はそれを、当時のフランス数学界の第一人者、コーシーに提出した。

このとき、インフェルトの「ガロアの生涯」などでは、コーシーは、ガロアの論文を読みもせず、遺失したということになっているが、史実はどうも違うらしい。すなわち、コーシーは、ガロアの論文をきちんと読み、その凄さも理解したのだという。そもそもが、他人の業績など関知しないコーシーが、アカデミーの席で、ガロアの論文の内容にわざわざ言及したのだという。

ただコーシーは、どうも、アーベルの類似の論文も知っていたようてある。確かにアーベルの論文との違いはあるので、そこを明確化するようにガロアに指示した節もあるという。

しかし、1829年、ガロアを悲劇が襲う。村長の職にあった父親、ニコラ・ガブリエルが、神父や王政派からの度重なるいやがらせで、自殺してまったのである。喪主を務めたエヴァリストの気持ちやいかに、いよいよ反政府派に傾倒してくるのである。

あまりにも間が悪いのだが、父親の死の少し後で、二度目のエコール・ポリテクニークの受験があった。このときは、不適切な試験官の対応に業を煮やして、ガロアはまたしても試験に落ちてしまう。反政府主義者のガロアを落とせという指示があったという説があるが、なにしろ試験準備をしていないのだから、落ちるのも仕方ないという説もある。数学の天才として確立した評判があるのだからなんとしても合格させるべきだったのにという意見もあるが、数学での一芸入試ではないのだから、仕方がないのかもしれない。

ともかくも生活の手段に事欠くので、奨学金がえられるエコール・ノルマルを受験しようとする。しかし、前述のとおり試験勉強はしていないし、なにしろ受付期間を徒過しているのである。本来なら受験さえできないはずなのに、また、まともに受けても無理のはずなのに、数学の天才であるということで、いろいろな手を打って、リシャールが推薦を取り付け、むりやりエコール・ノルマルに合格させた。すると、とりあえず、生活費の給付がえられた。ここらあたり、コーシーの口利きがあったのかもしれない。

エコール・ノルマルに合格しても、ガロアの血は収まらない。7月革命が起きると、必死で参加しようとして果たせず、逆に、学校から謹慎処分を受けた。こうしてガロアは一層先鋭化する。

そして校長を揶揄する記事を新聞に投稿したとして、ガロアはついに放校処分になった。もはやガロアは、警察にもマークされる要注意人物であった。

放校になったあと、生活手段が必要なので、ガロアは数学の私塾を開いた時期もあったらしい。それで、多少生徒も集まったのであるが、なにしろ、ガロアの業績の先端のところを話すという内容の高度さもあって、ほんど理解できる人はおらず、続かなかった。内容よりも、ガロアの政治活動が増えすぎたせいかもしれない。

その間、アカデミーに提出していた論文は、またもや、今度はポアッソンによって拒絶されてしまう。

政治集会での不穏な行動で、ガロアは逮捕された。その裁判はなんとか無罪になったが、なにかに理由をつけて、ガロアは投獄されてしまった。

1832年に、パリでコレラが流行し、1万人以上が亡くなるという事件があった。この疫病を逃れるために、ガロアは、もともと収容されていたサン・ペラジー監獄から、フォートリエ療養所に移送された。そこでガロアは初恋する。相手は、療養所の医師、ポトラン・デュモルの娘、ステファニー。しかし、初恋といっても、片思いで全然相手にされなかったようである。

そして1832年5月30日、決闘である。そこで、相手に撃たれて死ぬのであるが、その原因は、陰謀説、自殺説、恋愛説とあって、どれも全く決着がついていない。弟のアルフレッドは、兄の死を、政府の陰謀だったと言って憚らなかったという。札付きの反政府主義者なのだから、当時のフランスの状況に鑑みると、警察が謀殺してもおかしくない。自殺説というのもありえる。なにしろ、父親は亡くなる、学校は放校になる、論文は拒絶される、初恋は振られるで、希望を抱くことはとても難しい。恋愛説もなくはないが、ポトラン・デュモルの娘、ステファニーは淑女で、その辺の売春婦ではない。そもそも相手にされていないのだから、ステファニーを巡って誰かと争うというのはとても考えにくい。こうしておそらく、ガロアの本当の死の理由はずっと、闇の中かもしれない。

さてガロア理論とは一体どんな理論か。私も知らないので、加藤文元氏の説明に拠るとそれは、「数学的対象の難しさを、それに付随した対称性からなるシステムの構造によって記述する学問」だそうである。

代数方程式の可解性はその1つの応用にすぎない。代数方程式においては、「素次数の既約方程式がべき根で解けるための必要十分条件は、根のうち2つを任意にとったとき、他の根がそこから有理的に得られることである。」といいあわらされる。それはより厳密には、群や体という代数的構造の言語を使って記述される。

ガロアは実は、このアイデアの普遍性に気付いていて、解析学の解析学というように言い方をする。月並みな言い方であるが、ガロアは、文字通りのブルバキの先祖であり、政治的なことを理由に数学をドロップアウトしてしまうという点で、グロタンディークは、その直系である。

かくのごとく、フランス数学は、あまりにも偉大である、言うまでもないこと、この上ないが。

ローレンツのアトラクタ

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もう20年くらい前、カオスだのフラクタルだのに凝っていたことがあって、当時のDOSパソコンのグラフィック描画機能を使って、軌跡を描いて遊んでいたものだった。

その中で、比較的手頃なものに、ローレンツのアトラクタがあり、それは次のような連立微分方程式であわらされる。

これを、C++ビルダで記述してみた。数値計算は、ルンゲ・クッタ法による。ソースコードの主要部分は、以下のとおりである。Canvas->LineTo(x*15.0+500.0,-z*10.0+500.0);などとあるのが、プログラム依存な描画コマンドである。

なお、上式で、p = 10.0, r = 28.0, b = 8.0/3.0などと置いた。この具体的な係数値は、私独自で見つけたはずはないので、なにかのものの本で見たのだろうが、どこで見たか忘れた。

#include <vcl.h>
#include <math.h>
#pragma hdrstop
#include "Main.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
#define H 0.0001
double fnx(double x,double y);
double fny(double x,double y,double z);
double fnz(double x,double y,double z);
TForm1 *Form1;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
    : TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{
 
 Canvas->Pen->Color = clRed;
 double x = 2.0,y = 2.0,z = 13.0;
 double a1,a2,a3,a4;
 double b1,b2,b3,b4;
 double c1,c2,c3,c4;
 int First = 1;
 int N = 0;

 while (N++ < 1000000 )  {
  a1 = fnx(x,y); 
  b1 = fny(x,y,z);
  c1 = fnz(x,y,z);
  a2 = fnx(x+H*a1/2.0,y+H*b1/2.0);
  b2 = fny(x+H*a1/2.0,y+H*b1/2.0,z+H*c1/2.0);
  c2 = fnz(x+H*a1/2.0,y+H*b1/2.0,z+H*c1/2.0);
  a3 = fnx(x+H*a2/2.0,y+H*b2/2.0);
  b3 = fny(x+H*a2/2.0,y+H*b2/2.0,z+H*c2/2.0);
  c3 = fnz(x+H*a2/2.0,y+H*b2/2.0,z+H*c2/2.0);
  a4 = fnx(x+H*a3,y+H*b3);
  b4 = fny(x+H*a3,y+H*b3,z+H*c3);
  c4 = fnz(x+H*a3,y+H*b3,z+H*c3);
  x += H*(a1+2.0*a2+2.0*a3+a4)/6.0;
  y += H*(b1+2.0*b2+2.0*b3+b4)/6.0;
  z += H*(c1+2.0*c2+2.0*c3+c4)/6.0;

  if ( First == 1 )   {
   Canvas->MoveTo(x*15.0+500.0,-z*10.0+500.0);
   First = 0;
  }
  Canvas->LineTo(x*15.0+500.0,-z*10.0+500.0);
 }
  return;
}

double fnx(double x,double y)
{
 return -10.0*x+10.0*y;
}

double fny(double x,double y,double z)
{
 return 28.0*x-y-x*z;
}

double fnz(double x,double y,double z)
{
 return -8.0*z/3.0+x*y;
}

これの実行結果は、以下のとおりである。

ペレリマン

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もう2年以上も前に、数学セミナーの記事をみて、ポアンカレ予想というブログを書いた。ところが、ポアンカレ予想を証明したペレリマン自身のことはなにも触れなかったので、改めて、「100年の難問はなぜ解けたのか」春日真人著、NHK出版に基づき若干のメモを書いてみる。なお、恥ずかしながら私は、ポアンカレ予想では、ペレリマンをベレルマンと、読み方を誤解していた。しかし、ロシア語綴りでПерельманなのだから、どうみても、ペレリマンまたはペレルマンのどちらかである。そもそもが、ьに対応する日本語の発音なんてない。ともかく、ここではペレリマンで通す。

グレゴリ・ペレリマンは1966年6月13日に、旧ソ連のレニングラード(今の、サンクトペテルブルグ)で生まれた。両親ともユダヤ系で教育熱心だった。母親は数学教師で、幼い頃からグレゴリに、英才教育を受けさせた。

ペレリマンは子供の頃から近所の子供と全然遊ばず、学校の行事にもほとんど参加しなかった。何しろ週2回、数学のサークルに通い、週末は数学の模擬試験を受けていた。まさに子供の頃から数学漬けだった。

数学・物理専門のレニングラード第239高校に進学すると、圧倒的才能を発揮した。1982年、16歳で国際数学オリンピックの代表権を得た。

それでいて、世話好きで明るい性格だった。結果的にソ連チームは僅差の二位だったが、ペレリマン自身は満点をとり、個人の金メダルを得た。数学オリンピックに出題される問題はどれも難問であるのに、ペレリマンは最小の時間で、しかも最短の式で解いてしまうのだった。

ペレリマンは、運動は苦手だったが、散歩が好きだった。散歩しながら考えてる癖は、後々まで続いた。

ペレリマンには数学とは別の才能があった。なんと物理学が、数学以上に出来たのてある。しかし、数学の教師の方針で、数学への道を進んだ。しかし、この物理学の才能は、後年確実に活きるのであった。

さて、幾何学の世界で、1982年、サーストンが提出した幾何化予想が一世を風靡した。これは、「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」というものである。サーストンはこれを、ポアンカレ予想を解決するために構想したのだが、後に、ペレリマンにとっての多大のヒントになった。

そして1992年、ソ連崩壊に伴って、26歳になっていたペレリマンは、ニューヨーク大学クーラント数理科学研究所にやってきた。そこで、専攻の微分幾何学を研究した。なぜなら、クーラント数理科学研究所には、卓越した微分幾何学者たちがいたのである。その中にあって、ペレリマンの才能は早速注目された。特に、特異点をもった空間であるアレクサンドロフ空間の権威で、その中で、リーマン多様体の安定性定理、グロモフの予想、ソウル予想を解決するなど、1994年で既に超一流の数学者であった。それでいて謙虚で、決して業績を自慢しなかった。

米国に来て3年目で、カリフォルニア大バークレーの奨学生であったペレリマンは、研究室に閉じこもりかちになり、研究内容を誰にも話さなくなった。この頃、どうも、ポアンカレ予想に立ち向かう構想を抱いていたようである。ニューヨーク大学クーラント数理科学研究所での友人であったティアン博士に、アレクサンドロフ空間でリッチフローを構築する方法を聞いてきたという。実はこの頃、米国の数学者、リチャード・ハミルトンが、リッチフローを使えば、サーストンの幾何化予想とポアンカレ予想を証明できる可能性があると主張していたという。すると、この着想は、流石に、ペレリマンのオリジナルでなかったということになる。

ペレリマンほどの才能があれば、米国で数学教授の職を得ることはいともたやすいことであり、実際、招聘の口はいくらでもあった。しかし、決然と断って、ペレリマンはロシアに帰った。実は静謐にポアンカレ予想に取組みたかったのである。サンクトペテルブルグに戻ったペレリマンは、ステクロフ数学研究所に就職した。俸給は少ないが、教育などの雑用なく研究に没頭できるのがありがたかった。サンクトペテルブルグは、ペレリマンの地元であり、知り合いも多い。そこで同僚は、ペレリマンの変わり様に驚く。もともと快活だったペレリマンが、極端に人付き合いを避けるようになった。

それは2002年のことである。インターネット上に忽然と、幾何化予想とポアンカレ予想を証明したと称する論文が現われた。しかし当然に、誰もがそんなものはガセだと思った。簡単に証明されるわけがないのである。

時を同じくして、ティアン博士が、ペレリマンからメールを受け取った。その幾何化予想とポアンカレ予想を証明したと称する論文のありかも書かれている。ペレリマンの才能を知悉するティアン博士は、その論文の正しさを疑わず、自身が教授を勤めているMITに来て講義するように依頼する返信メールを送った。こうして、ペレリマンの再びの渡米が実現し、MIT、プリンストン大学、ニューヨーク大学で、ペレリマンの講義が行われることになった。

そこに集まったのは確かにトポロジストであり、ポアンカレ予想の専門家であったが、ペレリマンの講義にはどうしてもついていけなかった。なぜなら、その証明には、トポロジーの手法ではなく、微分幾何学の手法が使われていたからである。

さらに奇妙だったのは、ペレリマンは、講義の中で一度も、「証明した」という宣言をしなかった。そんな内気なペレリマンも、友人のティアン博士には、本音を打ち明けた。すなわち、ロシアに帰国してすぐの1996年2月には問題の突破口を見出しており、2000年には解決していたのだが、間違いがあったはいけないと2年間確認していた。

ペレリマンの論文は、複数の専門分野に亘る極めて難解なものなので、ティアン博士、ジョン・モーガン博士、ブルース・クライナー博士、ジョン・ロット博士その他の6人の数学者によって検討された。

こうして2006年、ペレリマンに、数学におけるノーベル賞ともいうべき、フィールズ賞が授与されることになった。しかし、それに先立つ2005年12月に、ペレリマンは、ステクロフ数学研究所を辞職し、誰とも公式に会わない日々を送っていた。そして、フィールズ賞の受賞も拒否した。

ペレリマン自身は、受賞を拒否した理由について何も語っていないので、理由は不明であるが、それは、どう考えても、今年のノーベル平和賞のような、政府からの弾圧ではない。そもそも、プーチン政権は、国家の名誉のフィールズ賞を忌避する理由はない。するとどうも、ペレリマン自身の、そのような賞を嫌う、一種の誠実さというか、信念のようである。

あと私は、グロタンディークとの類比も見て取る。すなわち、長年の数学への集中でグロタンディークがバーンアウトして失踪してしまったように、ペレリマンも、ポアンカレ予想への集中で、何かが消耗し尽くしてしまったのではないだろうか。隠遁して次なる難問(例えば、リーマン予想)に取組んでいるようにも思えない。

しかし、数学者はどうも、あるレベルになると、霞を食べて生きていけるらしい。もしグロタンディークが仙人のように山中で生き続けているなら、ペレリマンも、然したる定収入なく、数学の新たな構想を抱きつつ、森を散歩しているだろう。

手の数学

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仕事柄、いろいろな技術書を読むのだが、あまりにも理解が中途半端というか上滑りになっていと思ったら、それは数式をスキップしているからであった。私はもともと計算力が弱いが、長らく修行を怠っているものだから、知らず知らずのうちに、ほとんど計算ができなくなっていた。

そこで、本棚の奥にあった「解析学入門」福井常孝他著、内田老鶴園刊、を取り出してきた。この本は、古書店で何の気なしに買ったものであるが、なんでも、早稲田理工学部の一般教育の数学を担当している教官が、授業の便宜のために書いたものだという。それで、微分、積分、偏微分、微分方程式、級数、重積分、ベクトル解析と、理工学部全般で使う解析数学の道具をきちんと網羅している。

この本は、練習問題が豊富で、こつこつ問題を解いていくと、衰えた計算力のリハビリになる。その修行をしないと、理工系の本をいくら読んでも、理解が地に着かないのである。

こういう、いわゆる大学理系教養の数学は、公式に従って問題が解けるので、大学入試と、専門の数学の中間に位置しており、頭より手を使うという意味で、私は「手の数学」と呼ぶべきかもと思った。しかし、「手の数学」といっても決して軽んじることはできない。これはまさに、プロのメンテに書いた、基礎訓練/研究/実戦における「基礎訓練」に該当する。

ただ、微分、積分、偏微分、微分方程式、級数、重積分、ベクトル解析と並べても、面倒さ、複雑さの色合いは相当に違う。例えばこの中で、微分は一番易しい。普通の関数を組み合わせて作った式の微分は、順番に計算していると自然にできてしまう。このあたり、頭より手を使う「手の数学」の真骨頂であろう。

ところが、積分における、不定積分の計算となると、俄然悩ましい。例えば、次のような不定積分がスラスラ解けるだろうか。

実は、見かけと違って(2)の式の解の方が複雑であり、(2)は(1)を利用する。(1)は、x = sinh tとおいて、変数変換する。(2)は、部分積分して、(1)に持ち込む。それにしても、原始関数が求まる不定積分というのは極めて例外で、場合を慎重に選んで、手の数学に持ち込む。ちなみに、ランダウは、学生の選抜に、好んで積分の問題を出した。単純な「手の数学」に収まらず、「頭の数学」に踏み込むからだろう。

ところが、微分方程式になると、たとえ線形微分方程式であっても、不定積分以上に「手の数学」から遠ざかり、「基礎訓練」には適当でなくなる。ただ、ベクトル解析の一部で、「手の数学」の箇所がある。それは、grad, div, rotの複合計算で、学生時代の私はなぜかこれが得意であった。

すると、解析学の範囲だけに「手の数学」の問題を求めると偏ってしまうので、線形代数に題材を求めるのがよいだろう。そこでは、連立一次方程式の計算、行列の固有値などの計算が「手の数学」でありえる。しかし、ジョルダンの標準形や、リー代数的な計算になると、直ぐに「手の数学」には手に余る。

純粋数学から外れると、制御理論で使われるラプラス変換の計算、力学における質点の一体ポテンシャル問題などが、「手の数学」でありえる。電磁気学では、マックスウェルの方程式が、基本的に偏微分を含むベクトル解析の式なので、なかなか「手の数学」にならない。

このように、一歩道を外れると魑魅魍魎に迷い込む数学では、「手の数学」の題材を慎重に選ぶ必要がある。

ライプニッツ

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歴代の最大の偉人は誰か、というのは、誰でも一度は考えてみたことがあるのではないだろうか。ある人はプラトンを挙げ、別の人はアリストテレスを挙げる。またある人は、アインシュタインを挙げるかもしれないし、いやそれはカントだと主張する哲学者もいるかもしれない。

で、結局結論が出るはずもないのだが、数学セミナーの12月号をみてみると、どうもライプニッツもその比較の対象の候補として外せないようである。実際、ジョン・スチュアート・ミルは、「知的能力の偉大さと普遍性において、ライプニッツ以上に注目すべき人物を挙げるのは困難である。」という。

そこで、数学セミナーの12月号の記事に基づき、ライプニッツについて記述する。ライプニッツは、1646年6月21日に、ライプツィヒ大学哲学教授の息子として生まれた。知的能力は遺伝しないというのが私の主張だが、それでも血筋は気になる。

不幸にして父は6歳のとき亡くなるが、7歳で入ったニコライ学院で、リウィスの歴史書を眺めながらラテン語を独学でマスターした。ここらあたりから、天才の片鱗が既にみえている。同様にギリシャ語も独学でマスターし、8歳のとき父の蔵書の管理を任されると、それを手当たり次第に読み、学問の基礎を身に着けた。まだ小学生で第一級のレベルに到達してしまったわけである。

15歳でライプツィヒ大学に入学すると、スコラ哲学と、デカルト哲学のどちらを取るか迷い、森を一人で散策して、結局、デカルト哲学を取ることとした。そんな選択肢があるというのも実は意外である。ただ、ライプニッツが迷うくらいであるから、スコラ哲学が必ずしも古色蒼然たるものであったとは限らない。おそらく、ライプニッツの数学趣味がそうさせたのであろう。

ライプツィヒ大学では、ライプニッツは、ユークリッドの原論と、アリストテレスの論理学を学び、数学を基礎とする普遍学を志す。ここらあたり、シュリック、ライヘンバッハ、カルナップらの論理実証主義に繋がるのだろうか。

ともかく、ライプニッツの普遍学の構想は次のようなもので、これは生涯、ぶれることはなかった。

  1. 諸学問の再編による体系化
  2. 体系構築のモデルとしての数学の重視
  3. 数学の基礎としての記号の重視

普遍学の構想を胸に抱きつつ、1667年、21歳でアルトドルフ大学で法学博士になると、マインツ選帝侯の宮廷顧問官になった。なぜ法学博士なのかと問うても仕方がない。普遍学を志すライプニッツには、あらゆる学問が専門なのである。この頃既に、宗教対立の宥和、人間の幸福、社会の利益、神の名誉を含む社会福祉論、運動論(すなわち力学)、物理学、図書館整理法などの構想をもっていた。

1672年にパリに出ると、オランダの数学者、物理学者、天文学者であり、曲線の求積、振り子の原理、天体観測、望遠鏡製作などの業績をもつホイヘンスと親交を結び、大層多くのものを学んだ。また、パスカルの著作「四分円の正弦論」からは、積分学に関する構想を得た。1675年のライプニッツのノートには、われわれがいま使っているのと同じ積分の記号が構想され書かれていた。

ハノーファーに戻ると、ハノーファー候から家系図作りを命じられ、宗教対立緩和のため宗教指導者と会談し、科学アカデミー主催のため国王に面会し、その合間に数学・科学の著作をするという超多忙な日々であった。それでいて、多くの人達と文通し、その書簡は15000通にもなる。

ニュートンは、天体力学から微分・積分にアプローチした。これは、ケプラーの流れを汲むものである。一方、ライプニッツは、曲線の研究から微分・積分を構想した。アルキメデス流といえようか。

ライプニッツの構想による微分積分学はとても優れていて、デカルトやホイヘンスが苦労した問題をたった数行で解くことができるものであった。それは記号表記の合理性ということもある。

一種の微分方程式を解くために、ライプニッツは、指数関数も考え出した。

また、自然学における連続律を構想した。これは、プランクが自然の不連続性を見出す19世紀末まで有効であった。

その後、懸垂線の問題、変分法、微分方程式などの論文を書き、18世紀のはじめには、部分分数展開による積分の公式を考えだした。これは、今では大学理系教養で習う程度の積分公式である。

実はライプニッツには、微分積分のような解析系の業績だけでなく、計算機、方程式論、行列式、位置解析(トポロジ)、確率論、記号論理学など、数学の範囲だけでも数え切れない業績があり、その他、哲学、宗教、政治、文学、歴史にも業績が及ぶとなってくると、一体誰が全貌を見渡せようか、ということになる。

ところが、天才の例に漏れず、テスラなどと同様、ライプニッツも晩年は孤独で、1716年に70歳で亡くなったとき、葬儀に参列したのは使用人一人だけだったという。おそらく天才であるがゆえに理解されず、疎まれ、あるいはやっかまれるのだろう。うん、こういう死に方はいかにも霊格が高くていいね、と感心するのは私くらいだろうか。

零集合

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零集合というは、ルベーグ積分のところで述べた測度論で定義される集合であって、m(A) = 0である集合である。

例えば、1つだけの点からなる点集合Aを考えると、当然にm(A) = 0である。これは、次のような積分に対応して考えられる。

-∞P(x)dx ただし、P(x)は、x=0で1をとり、それ以外では0となるような関数である。この積分が0になることは自明に考えられる。

では、全ての有理点からなる集合Bはどうか。測度論の定理によると、m(B) = ∑x∈Bm({x})であって、m({x})はすべて0なので、m(B) = 0であるといえる。

それでは、xが有理数のとき1をとり、無理数のとき0をとるようなRat(x)を以って、∫-∞Rat(x)dxを考えることができるだろうか。先ず、リーマン積分の範囲で、この積分を考えることができるだろうか。すると、ルベーグ積分で述べた、ρ = maxi(xi+1 - xi)のようなρ→0の極限がきちんと扱えないという困難に出会う。

そこで、ルベーグ積分によると、m(B) = 0であることを用いて、∫-∞Rat(x)dx = 0であると言うことができる。

すると、0でない積分結果をもたらすためには、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが、少なくともある区間で、非加算濃度をもたなくてはならない、ということになる。

すなわち、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが非加算濃度をもつことは、0でない積分結果を与えるための必要条件であるが、点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、カントールの零集合という反例がある。

カントールの零集合は、[0,1]の区間において、(1/3,2/3)という真ん中三分の一の区間を除去し、残りの[0,1/3]と[2/3,1]において、その真ん中三分の一の区間を除去する。この操作を再帰的に無限に行う。すると、除去される区間の長さの合計は、(1/3)∑n=0(2/3)nとなって、これは1であるので、除去された結果の集合の測度は、1 - 1 = 0で、零集合になる。

一方、除去された結果の点は、3進法で、0.an1an2an3...のように無限桁小数として表記でき、ここで一般に、aijは、0または2である。すると、対角線論法が適用できて、除去された結果の点の非加算性が証明される。すなわち、非加算濃度をもつ零集合が存在する。

零集合の隠微な世界を垣間見た次第である。

数楽者の限界

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道を歩いていて、「数楽者の限界」というテーマが頭に浮かび、つい笑ってしまった。なぜなら、数楽者ほど限界に満ちた、あるいは、日々限界に直面する存在もなかなかいないからである。ここでいう数楽者とは、説明の要もないだろう。すなわち、専ら楽しみのために数学について考え、あるいは勉強する人のことである。そのレベルは全く問われない。中学レベルであってもよいし、ほとんど玄人はだしであってもよい。条件は、自分を数楽者であると認めることだけであり、一旦本人が認めると、他人はそうでないと、誰一人否定できない。

何度も書いたが、私は大学で一応物理を専攻した。数学は、子供のとき以来、得意だったことは一度もなく、大学に入ってからも、数学は所詮、物理学のための道具に過ぎなかった。ともかく、自堕落な日々のあと、仕方なく大阪の会社に就職してから、今更のように急に、理論物理を勉強したくなった。阪大または大阪市大なのかもしれないが、どこか大阪の大学の大学院で改めて理論物理を専攻してみたくなったが、何しろ、安月給で、日々の暮らしを凌ぐのが精一杯である。仕事だってろくにまだ覚えていないし、会社ではいろいろとしごかれている日々で、精神的にも余裕がない。しかも、試験が大の苦手な私が、少々の勉強でまともな大学の大学院に受かるものだろうか。それにである、万が一大学院に受かったからといって、理論物理を専攻して何の保証があろう。もし頑張ってドクターの学位をとっても結局、予備校の数学の講師になるのが関の山ではないか、などと考えていたら、まったく踏ん切りがつかなかった。私は生意気な口ぶりとは裏腹に、実に臆病でコンサーバティブな、弱気な人間なのであった。

そういう鬱屈の日々を送っていたら、その大阪の会社の研究部門に、妙な人がいるのに気付いた。がっしりした体格なのに、部屋の隅で何か本を読んでいる。その本が、数学の本であることに気付いて、声をかけた。するとにこやかに応じてくれて、会話がはずんだ。その人は、大学では冶金工学を専攻したのだが、本当は数学が好きで、工学部の中で一番数学を駆使すると思われる航空工学を受験したのだが、なにしろ、数学以外の受験科目が得意でないので、ボーダーラインに達せず、仕方なく第2志望の冶金工学に進んだというのだが、手に持っている数学は、純粋数学の本で、どうみても研究と関係がありそうもない。それが人生における初めての数楽者との出会いであった。

その人とは妙にウマがあい、暇さえあれば、一緒に会話した。いつも数学の本を読んでいるのに、なぜか、あまりまともに数学を勉強したことがない私よりも、数学の知識が少ない。それで、からかっていたら反論された。私も不勉強なので、反論に数学的にまともに答えられなかった。そこで、くやしいので私も自宅(といっても当時は会社の寮にいたのだが)で数学を勉強しているうちに、私もすっかり、数楽者の道に嵌ってしまった。

私は、ウマが合う異性というのに出会ったことがないが、その友人が異性だったら、多分結婚していただろう。といはえ、いかなる意味でもホモセクシュアルな気持ちはなく、純粋に精神的なものだった。

そうやって、その友人を含め仲のよい友達は多少いたけれども、その大阪の会社があまりにも嫌で、結局東京に出てきたので、別に喧嘩別れした訳でもないのにその友人とは疎遠になってしまった。しかし、一旦呼び覚まされた数楽者の血は鎮まらず、今度は数学を基礎から大学で勉強してみたくなった。それで調べてみると、東京理科大の理学部に二部があるらしい。試験の苦手な私も二部なら少し勉強すれば受かるのではないかと安易に考えたのだが、そこでも差し当たっての限界はお金であった。なにしろ、ここでも安月給で、呑み代と本代とその他アパート代、光熱費で全く残らず、学費を捻出する余地は全くない。

それでも、ある友人に相談したら、そんなに数学を勉強したいたら、夢を追いなよ、と言ってくれた。すなわち、呑み代を削ればぎりぎりなんとかなるのではないか、と。しかし、そこでも私のコンサバの性格がもたげてきた。そもそも、法律を勉強して弁護士を目指すとか、特許法を勉強して弁理士を目指すなど、目標達成後に目に見える成果が期待できるならともかく、食べていく手段として、数学というのはあまりに迂遠である。仮令頑張って東京理科大の理学部夜間の数学科を卒業したとして、一体どんな未来があるというのか、というと何も見えないのである。

こうして私は、暇をみて、ただ数学の本を眺めるだけの地味な数楽者に戻った。ここまで書いてきたことから、自明とも言える数楽者の限界を書き下してみると、次のとおりである。

まず、数学というのは、法律のような稼げる技芸とは全く異なるので、生活費がないと勉強できない。それが最初の限界である。

次に、数学は、十分時間をかけて勉強しないと理解できない。薄い一冊の本をちゃんと理解するのに1年もかかったりする。だから、ガウスは、何よりも時間を大事にし、大した俸給でもないのに、暇がたっぷりある天文台の仕事を好んだのである。あ、ガウスは数楽者ではないではないかと言われるかもしれない。それはそうなのだが、どうみても、その経歴をみると、数楽者兼数学者であるとしか思えない。すなわち、次は時間の限界である。

ところが、数楽者と数学者を分ける最大のものは、いうまでもなく、才能なのであった。だから、数楽者には誰でもなれるが、そのうちの限られた人だけが、数学者と呼ばれるに値する。数学者になるためには普通、大学で数学を学ぶなどの教育機会をもつ必要があるかもしれないが、それは必須ではない。才能さえあれば、独学でも、ラマヌジャンのように、数学者になれる。ただ、才能は誰も否定しないが、ハーディーに見出される前のラマヌジャンが数学者と呼ばれ得るかは微妙である。よって、数学者と呼ばれるには、世間に受け入れられる形式で、論文を書けるスキルというのが望ましいということになる。

最後に、数楽者として一応の見易い目標として、私は次のようなものを設定している。すなわち、代数なら、ガロア理論をある程度理解でき、解析なら、測度論とルベーグ積分そして関数解析がある程度理解でき、幾何なら、トポロジのマイヤービートリス完全系列あたりまでが理解できる、とこれくらいまでくれば、数楽者としては上出来なのてはないかと思い、死ぬまでにその辺まで勉強できれば、と最近こつこつ勉強している次第である。それでも、志村・谷山予想レベルは絶対に理解できないであろう、ということくらいは分かっているつもりである。多少なりとも人生のロマンということを理解できる人なら、なんと無意味な、と哄笑することはないと信じる。

インドの数学

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インドの数学というと、ラマヌジャンと言いたいところだが、ここでは、古代インドの数学を、数学セミナーの記事に従ってメモしてみる。

古代インドといえば、まずインダス文明である。日本人のルーツで述べたように、インダス文明は、シュメール文明との関連性が推察されている。そのシュメール文明からの継承なのか、インダス文明では、十進法、おもりの正確さ、長さの正確さなどの特性を備えていた。

ところが、高い文明をもっていたインダス文明は、侵入してきたアーリア民族にあっさり殲滅されてしまう。そのアーリア民族も高い数学的レベルを誇った。何ほどか、インダス文明から継承したに違いない。すなわち、紀元前7世紀から紀元前5世紀頃、犠牲の儀式の祭壇を細かく定めたシュルパ・ストーラ(縄の規則)には高度な幾何学的知識が使われている。例えば、ピタゴラスの定理に相当する記述もある。さらには、円や長方形と等しい面積の正方形を作るという古代ギリシャと似た問題も扱われている。その時代は、円周率は、3.088と計算されていた。

ところで、ピタゴラスは、紀元前572年頃に生まれたと言われている。すると、アーリア民族の数学的知識は、ピタゴラス一派から伝来したというよりも、なにかある共通の文化の祖先があって、そこから、ギリシャとアーリア民族の両方に伝播したと考えるのが相当であろう。その文化の祖先としては、私は、どうしてもシュメールを想定したくなる。

紀元前500年頃、バラモン教への批判から、ジャイナ教や仏教が興った。そして、ジャイナ教では、どういう宗教上の理由か知らないが、順列・組み合わせの計算が研究された。それは後に、パスカルの三角形として知られるものにまで発展した。そういえば、仏教では、とても非現実的な、超天文学的とでもいうべき数字が出てくる。あれもなにかの数学に関係があるのだろうか。

実は現在、世界で使われている位取り10進表記は、インドで興り、アラビアで育って全世界に広まったものである。これに関して、インド人は、位取り記法としての数字の0を使ったが、それは別にインドのオリジナルではなかった。それはおそらく、紀元前のバビロニアであろうと言われている。プトレマイオス朝のエジプトでも使われたという。

ところで、古代インド数学の傑人といえば、紀元後476年に生まれたアールヤバタ、紀元後596年に生まれたブラフマーグプタ、紀元後1114年に生まれたバースカラ2世などである。そして、いわゆるインド数学のゼロの発見というのは、ブラフマーグプタあたりの功績らしい。その天文学書「ブラフマー・スプタ・シッダーンタ」(628年)には、下記のような計算の例がある。

a±0 = a, 0±0 = 0, a+(-a) = 0
a・0 = 0・a = 0, 0・0 = 0
a/0 = ゼロ分母, 0/a = 0, 0/0 = 0
02 = 0, 0の平方根 = 0

0/0 = 0はフライングであるが、当時としては、0を独立の数として扱うこと自体が画期的であった。また、ゼロ分母というのは、∞のことだろうか。

アールヤバタは、「アールヤバティーヤ」という著書で、古い天文学・暦法書を体系化した。ここで、正弦の概念、円周率の計算、などを論じた。

ブラフマーグプタは、上記0の算法以外に、一次と二次の不定方程式の整数解を論じた。これは、ディオファントスの流れを汲むものであるが、Ax2+t=y2という形を一般的に扱ったのは、ブラフマーグプタが最初である。11x2+t=y2は、オイラーが18世紀に解いて快哉を叫んだ不定方程式であるが、ブラフマーグプタはそれを1000年以上も先んじたことになる。

バースカラ2世は、「ビージャ・ガニタ」で、61x2+t=y2を解いてみせたが、その解はなんと、(x,y) = (226153980,1766319049)で、これは、18世紀にラグランジュがようやく解いたものであった。私は、社交数の計算を通じて、このような巨大な整数解を求めることがいかに困難か、身に沁みて知っている。なお、バースカラ2世の「リーラーヴァティー」は、アラビア語に訳され、アラビア世界に影響を与えた。そして、アラビアからヨーロッパにも流入した。

ところが、インドでは、12世紀のバースカラ2世以降、数学者の輩出がなぜかバタッと途絶えてしまう。忽然とラマヌジャンがこの世に現れたのは、なんと1913年なのであった。

ルベーグ積分

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大学に入学したとき、一般教養の数学の教授が、高木貞治の「解析概論」がとてもためになる、と勧めていた。寝転がって読めるような本じゃないけどね、と。

学問に燃えていた私は、高木貞治の「解析概論」を早速買って、夏休みに、それこそ寝転がって、計算もしながら読んだ。結局粗くではあるが、半年くらいかかって読了しようとしたら、最後の章が「ルベーグ積分」だった。へぇ、どんな積分の計算なんだろうとページをめくると、なんと、抽象的な集合演算しか出てこない。ブルバキ数学原論で集合演算の修行をした後ならともかく、当時の私にはまったく歯が立たず、ほうほうの体でページを閉じた。前の方の章のルジャンドルの多項式などの話にはまったくついていけなくもなかったのに、である。

それから幾十年が過ぎ、最近自分の部屋の中で、吉田洋一「ルベク積分」培風館新数学シリーズをふと眺めてみることにした。以下、それのメモである。

abf(x)dxのような定積分がどうやって定義されるかは自明である。すなわち、a = x1< x2<...xi< xi+1<... < xn< = b であるようなxi i = 1,...nを選ぶことができて、それによって区間Δ : [x1,x2],[x2,x3],...,[xi,xi+1],...,[xn-1,xn]が決まる。

そこで、ξi∈[xi,xi+1]のような取り方は、区間[xi,xi+1]内で自由度があるけれども、ともかく、 SΔ = ∑i=1n-1f(ξi)[xi,xi+1]という和を考える。

次に、ρ = maxi(xi+1 - xi)で、ρ→0という極限を考えると、それは、区間Δを無限に細分化していくことを意味する。そのとき、SΔが、区間内のξiの取り方によらず一定のIに収束するとき、∫abf(x)dxをリーマン積分可能である、という。

これは、高校から習う積分の定義そのものであって、この定義だけで何も不自由はないように思われる。ところが、まるでわざと病的な例を挙げるようであるが、直感的に何が問題があるのか、というような普通の場合に、リーマン積分は破綻してしまう。すなわち、F'(x) = f(x)のような関数F(x)は、fの原始関数と呼ばれるが、なんと、f(x)が原始関数をもち、且つ、f(x)が[a,b]で有界であっても、f(x)が[a,b]でリーマン積分可能でないような反例が存在する。また、収束する関数列が個別にリーマン積分可能であっても、極限の関数がリーマン積分可能でない反例が存在する。ただ、f(x)が[a,b]で有界であっても、f(x)が[a,b]でリーマン積分可能でないような反例というのは、解析学の泰斗であるヴォルテラによって用意されたヴォルテラの反例と呼ばれるが、非常に複雑で、無理やり作った反例としか思えない。とはいえ数学において、反例とは無理やりつくるものなのであった。

そこで、このような扱いにくさを解消するために、ルベーグが考えだしたのが、ルベーグ積分である。リーマン積分では、定義域を区間に細分化したが、逆転の発想で、ルベーグ積分では、f(x)の[a,b]でとりえる値の範囲l < f(x) < Lを考え、[l,L]という値域を次のように細分化する。

l = y1< y2<...yi< yi+1<... < yn< = L

そこで、区間Δ : [y1,y2],[y2,y3],...,[yi,yi+1],...,[yn-1,yn]を選び、μi∈[yi,yi+1]によって、μiを選ぶと、SΔ = ∑i=1n-1μim(Ai)という和を、ρ = maxi(yi+1 - yi)で、ρ→0という極限を考える。そして、SΔが、その極限である値Iに収束するとき、ルベーグ積分可能という。ただ、ここで、Aiと、m()がまだ未定義であった。すなわち、Aiは、区間[yi,yi+1]の点集合、m(Ai)は、点集合Aiの測度、すなわち、大きさの抽象化された概念である。このようなルベーグ積分を以ってすれば、ヴォルテラの反例は最早起こらないし、収束する関数列が個別にルベーグ積分可能であれば、極限の関数がルベーグ積分可能であるといえるようになる。

しかし、点集合から実数への写像である測度の定義はまだ与えられていないし、なぜヴォルテラの反例がルベーグ積分では解消されているかという証明も非常に難しい。

ところがなんと、あのグロタンディークが大学生の時代に、積分の不備に気付き、独力で編みたしたのが、ルベーグ積分と同一の概念だった。そもそも、普通のリーマン積分の不備に気付くことすら、常人には難しい。もちろん既にルベーグが構築した後なので、何ら業績にはならないが、それでも、グロタンディークの天才性は彷彿とさせる。

以上、ルベーグ積分入門のための自己メモであった。

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