フィールズ賞

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言うまでもないが、科学関係の最高の賞はノーベル賞であり、数学の最高の賞はフィールズ賞と相場が決まっている。特にフィールズ賞は、40歳という年齢制限と、4年に一度しか受賞されないということで、ノーベル賞よりも希少性が高い。ペレリマンの受賞拒否でケチがついたとはいえ、フィールズ賞の権威はまだ揺らいでいないと思う。

さて、日本は数学大国であって、三人もフィールズ賞受賞者がいる。それは、小平邦彦、広中平祐、森重文であって、みんな、代数幾何の分野であった。数楽者であるなら、ここまではすらすら言えなくてはならないが、それでは具体的にどんな研究で賞を貰ったのかと聞かれると、ええと・・・と、答えが凍り付いてしまう。数楽者の低すぎる限界である。

数学セミナーの2011年4月号に、藤野修氏による、日本の三人のフィールズ賞受賞者に関する記事があったので、自分用に書き留めておく。

まず、小平邦彦であるが、1915年に生まれ、1997年に亡くなられた。複素多様体上の調和積分論、その応用としての小平の消滅定理と小平の埋め込み定理がある。小平の消滅定理は、次のように記述される。

Xをコンパクトな複素多様体とし、Lを正な直線束とする。このとき、

が、q > 0に対して成立する。

調和積分論は、代数幾何学の常識となっているツールであり、小平の消滅定理の一般化は、代数多様体の分類理論で活用されている。代数多様体の分類理論は、後述する森重文の業績にもつながる。

次に、広中平祐は、1931年生まれで、もう80歳になられるはずであるが、未だに現役で数学の研究をしているという。大したものである。広中平祐は、代数多様体における特異点解消のスペシャリストであって、その特異点解消定理は、おおまかには、次のように記述される。

Xを代数多様体とする。このとき、基礎体の標数は0とする。すると、有限回の爆発の合成f:Y→Xが存在し、Yは非特異代数多様体となる。

広中の特異点解消定理は、代数多様体や、複素解析空間の研究に必須である。

最後に、森重文は、1951年生まれで、現在は京大数理解析研究所の所長である。還暦であるが、現役バリバリの数学者である。森重文の研究は、代数曲線から非特異射影代数多様体への写像の変形を正標数の世界で考え、有理曲線をつくりだすというアイデアが出発点であり、これはハーツホーン予想の解決の過程で得られた。その後3次元代数多様体の特異点の詳細な研究を行い、次のようなフリップ定理に行き着いた。

Xを3次元代数多様体とする。このとき、基礎体の標数は0とする。すると、有限回の因子収縮とフリップを施すことにより、Xは、森ファイバー空間か極小モデルになる。

フリップというのは、3次元以上の代数多様体で現れる双有理変換であり、フリップの存在が、小平の曲面論との相違である。

小平邦彦、広中平祐、森重文の研究の共通点は、代数多様体の双有理分類論に係わる点である。これを藤野氏は、偶然だというけれども、永田雅宣氏など、日本の代数幾何の人材は分厚く、ある意味日本のお家芸と言えるのではないだろうか。

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このページは、あやたろうが2011年4月17日 07:42に書いたブログ記事です。

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