ガロアの理論

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以前にガロアの生涯についてまとめてみたが、数学セミナーの10月号が「ガロア生誕200年」ということで、ガロアの理論の紹介があったので、とりあえずメモしてみる。

すると、先ず、「ガロア」中公新書の著者である加藤文元氏の記事があり、そこで「解析学の解析学」と説明していたことが更に詳しく説明されている。すなわち、ガロアの構想では、代数方程式のガロア理論の次に、代数関数の積分であらわされる超越関数が論じられようとする。

一見異なるこれらの理論は、数の複雑さで結び付けられる。すなわち、代数方程式のガロア理論では、代数方程式の根としてあらわれる数の無理数性が、方程式のガロア理論として統制される。

一方、代数関数の積分であらわされる超越関数では、関数の多値性が問われ、それを統制するのは関数や微分方程式のモノドロミー群というガロア群であり、それをリーマン面によって可視化したのが基本群というもう一つのガロア群である。

しかしガロアはさらに先を考えていたようで、それは超越的解析の曖昧の理論と呼ばれる。この曖昧さとは例えば、関数の多値性であったり、対称性であったりする。

さて、代数方程式におけるガロアの定理は次のように記述される。
代数方程式f(x) = 0に対して、解の置換の群Gfであって、次の性質をみたすものが存在する。

  1. 根の有理式gがGfに含まれる全ての置換で不変なら、gは既知の数をあらわす。
  2. 逆に既知の数をあらわす根の有理式gは、Gfに含まれる全ての置換で不変である。

根の有理式で置換で不変なものの例として、三次方程式の根をα,β,γとして、α+β+γ, αβ+βγ+γα, αβγがある。

さらなるガロアの定理がある。
素数次代数方程式がべき乗根で解ける条件は、方程式の2つの根の有理式によって、他の全ての根があらわされることである。

5次方程式の場合、一般的にこの条件が満たされないので、5次方程式は一般にべき乗根で解けないということになる。

これは言い換えると、ガロア理論が、代数方程式の代数可解性と、群との間の仲立ちをしているということになる。

数論幾何では、代数方程式に対応するのが、グロタンディークによって導入されたスキームである。そしてさらに、Z上有限型スキームに対しては、ハッセ-ヴェイユ・ゼータ関数が定義される。ラングランスは、Z上有限型スキームでのハッセ-ヴェイユ・ゼータ関数において、局所コンパクト位相群が存在して、それから絶対ガロア群への全射準同型写像が存在すると予想した。ラングランスはまた、モチヴィック・ガロア群と呼ばれるモチーフを統制する群が存在すると予想する。

モチヴィック・ガロア群は、代数幾何学のコホモロジー理論におけるモチーフの圏の表現としてもあらわれる。

次に位相幾何学に基本群と呼ばれる概念が存在するが、さらにその被覆と呼ばれる概念において、自己同型写像が常に存在するときそれは、ガロア被覆と呼ばれる。

さらに、代数方程式のガロア理論を、線形常微分方程式に適用した理論がピカールなどによって構築された。線形常微分方程式のガロア理論では、微分作用素から微分環、微分体などが定義され、そこに微分ガロア群というものを考えることができる。

以上、訳もわからず将来のなにかの足しにと思ってメモしてみたが、これは果たしてガロアが短い生涯のうちで懸命に構想しようとした超越的解析の曖昧の理論の延長戦上にあるのだろうか。

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このページは、あやたろうが2011年10月 2日 00:10に書いたブログ記事です。

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