ABC予想

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産経新聞ニュースにABC予想に関する記事があったので、引用しつつコメントする。

ABC予想を証明する論文を完成させた望月新一京都大教授(43)は、16歳のときに米プリンストン大に飛び級で入学、19歳で同大数学科を卒業した俊英だ。平成14年に32歳で京都大の教授に就任するなど、異例ずくめの経歴を持つ。

昭和44年東京生まれ。関係者によると父親の仕事の都合で5歳のころ渡米。ほとんど米国暮らしで、平成4年に23歳で京都大助手に就任した際は日本語が苦手だったという。

専門の数論幾何で多岐にわたる業績を残し、17年に日本学士院が45歳以下の若手を対象に創設した学術奨励賞の第1回受賞者に選ばれた。

今回発表した500ページにわたる4編の論文は1人で書き上げた。望月さんを知る研究者は「今回の論文執筆に少なくとも10年、間断なく集中してきた。まだかなり興奮しているのではないか」と話した。

それでは、ABC予想とはどんなものなのだろうか。私がたまたまもっている数学セミナーの2008年1月号の「有理数からディオファントス幾何へ」という特集号の伊藤哲史氏の記事に基づき、記述してみる。

ABC予想は、1985年に、マッサーとオエスターレによって提出された。先ず、0でない整数で、a + b + c = 0をみたし、どの2つも互いに素である(a,b,c)を3つ組と呼ぶことにする。

そして、積abcを割り切る素数の積をN(a,b,c)とおく。abcを割り切る素数を、P1,P2,...,Prとすると、N(a,b,c) := P1×P2×...,×Prとなる次第である。

一方、m(a,b,c) := max{|a|,|b|,|c|}とする。これでABC予想を記述する準備が整った。

ABC予想とは、ε > 0として、εにしかよらない定数C(ε)> 0が存在して、
m(a,b,c)/(N(a,b,c)1+ε) < C(ε)が、すべての3つ組に対して成り立つ、というものである。数楽者としては、C(ε)とは一体どんな関数形なのだと想像をたくましくする以外の手はない。

ABC予想は、どうみてもフェルマーの定理よりも、意味がわかりにくいが、もしABC予想が正しいと、次のような定理が成立する。
自然数α,β,γを固定する。すると、
αxp + βyq = γzr, p > 3, q > 3, r > 3をみたす自然数の組(x,y,z,p,q,r)は、有限個しか存在しない。これはある意味、フェルマーの定理ライクであり、ABC予想とフェルマーの定理の関連性を示唆する。

上記の伊藤哲史氏の記事には、望月新一氏がABC予想の解決を目指しているとの言及もあり、当然ながら、同僚には当時から周知だったようである。

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コメント(7)

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素数は非常に豊穣な分野らしいです
まぁ無限にありますからね

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健太さん

そうですね、数論において、素数は華であり、それでいて無限にあります。Σ(1/p)がすべての素数pに亘って足しても無限に発散するというのも面白いです。異様に緩慢な発散らしいですが。

暗号に応用されるまでは
嘲笑の対象だったらしいですが
応用できるとわかった瞬間
アメリカ軍の一人が素数の論文発表を軍機密にしようと動きました
なんという振れ幅
でも1が入ってないのは美しくないですね

発散するんですか
まぁ収束したらしたらでその数値は気になりますけど
神が決めた数字みたいな
発散じゃ∞ですよね

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健太さん

> でも1が入ってないのは美しくないですね

1は、素数の名誉会長でいいのではないですか。

> まぁ収束したらしたらでその数値は気になりますけど

その意味では、よく分からないのは、オイラーの定数ですね。

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 私の場合、簡単なものだけしか理解できませんが、整数の予想や定理を読んだり聞いたりすると、
・予想や定理ごとに異なる様相の凹凸が複素平面に生じて;
・予想や定理の解となる値が複素平面上に無限だか有限だか生じ;
・所々、解となる値がたまさか整数や素数の上にあり;そして
・そして解となる整数や素数の数が有限だったり、無限だったり、なかったりする
 のかな?というイメージが湧きます。

(予想や定理は、素人の私には全く理解できない形式の複雑な空間や値を予定しているのかも知れませんが、イメージできる限界は、せいぜい複素平面と複素数値までです。)

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南木さん

そのイメージは、解析的数論ですね。なかなか、センスがいいと見受けます。具体的には、素数分布とか、リーマン予想とかと結びつきます。「複素平面上に無限だか有限だか生じ」ってまさにリーマン予想ではないですか。

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このページは、あやたろうが2012年10月 1日 08:11に書いたブログ記事です。

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