大栗先生の超弦理論入門

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理論物理学者の大栗博司氏は最近、何冊も物理学の啓蒙書を書かれていて、気になっていたのだが、なぜか敬遠して今まで一冊も買っていなかった。ところが、最近、講談社ブルーバックスから出た「大栗先生の超弦理論入門」は、大栗博司氏が関与するトポロジカルな弦理論というのも紹介されているらしくて、迷わず買った。

そして、読みながら、場合により、スモーリンの超弦理論小史あたりと比較しながら見ていくことにした。

まず、第1次超弦理論革命の前であるが、大栗氏は、Ⅱ型の閉じた弦だけの理論では、パリティを破れないことに言及する。

では、開いた弦も含むⅠ型の理論はどうかというと、量子的なゆらぎで理論の整合性がとれなくなるというアノーマリーに苦しんでいた。それを1984年に解決したのが、ジョン・シュワルツとマイケル・グリーンのアイデアだった。より具体的にグリーンは、32次元の回転対称によりゲージ対称性が一意的に決まるのであった。これが第1次超弦理論革命の始まりであった。

しかし、アノーマリーを相殺するためのゲージ対称性は実はもう一つあって、それは数学的には例外群と呼ばれる。プリンストン大学のディビッド・グロス、ジェフェリー・ハーベイ、エミール・マルチネック、ライアン・ロームは、9次元+グラスマン数の通常の超弦理論と、南部・後藤の25次元の弦理論を融合させることを思いついた。時計まわりの波が9次元+グラスマン数の空間で、反時計まわりの波が25次元の空間で振動しているという次第ある。これはヘテロティック弦理論と呼ばれる。

さらなるアイデアが、1985年、フィリップ・カンデラス、ゲアリー・ホロヴィッツ、アンドリュー・ストロミンジャー、そしてエドワード・ウイッテンによってもたらされた。カラビ・ヤウ空間を利用するアイデアである。すなわち、Ⅰ型の理論においても、ヘテロティック弦理論においても、カラビ・ヤウ空間を利用して3次元にコンパクト化させると、三世代のクォーク、三世代の電子とニュートリノ、電磁力、弱い力、強い力、ヒッグス粒子など、すべての要素が現れることが示された。

もっと言うと、カラビ・ヤウ空間のオイラー数のようなトポロジー的な性質によりクォークの世代数などが決まるのであるが、問題は超弦理論小史で述べたように、カラビ・ヤウ空間は10万以上の種類があり、そのそれぞれが異なる素粒子物理に対応することである。結局、第1次超弦理論革命は決め手を欠いたのであった。

大栗氏の最初の仕事は、まさに超弦理論において、カラビ・ヤウ空間を用いて3次元の素粒子模型を導くことだった。しかし、カラビ・ヤウ空間には、距離の測り方さえわからない、という問題があった。これに対してウイッテンが示唆を与えた。すなわち、弦の振動の仕方を少し変えることで、距離の測り方によらず量子効果の計算が可能になるというのである。

ハーバード大学のカムラン・バッファと、イタリアからバッファのグループを訪問していたセルジオ・チコッティがそのとき、異なるカラビ・ヤウ空間の間の関係を調べていた。ボストンを訪れた大栗氏はそこに合流し、共同研究し、ある方程式に想到した。しかし、その方程式をうまく解くことができない。さらにそこにミハイル・ペルジャドスキーも加わって、四人で議論し、ついにファインマン図を使って方程式を解き、上記ウイッテンの示唆に意味を与えることができた。1993年のことである。このカラビ・ヤウ空間の距離によらない技法は、トポロジカルな弦理論と呼ばれ、超弦理論において活用されるようになった。

そして1995年、第二次超弦理論革命が起こった。立役者はウイッテンである。その時点で問題になっていたのは、9次元の超弦理論に5つの選択肢があり、3次元へのコンパクト化を行うためのカラビ・ヤウ空間にも多数のバリエーションがある。このうちのどの選択が正しいのか、という疑問である。

ウイッテンは当初、9次元の超弦理論の5つの選択肢のどれか一つだけが正しいと信じていた。しかし、突き詰めていくと、下記の5つの選択肢のどれも等価だと分かった。

  1. I型超弦:閉じた弦と開いた弦の両方を含む
  2. ⅡA型超弦:閉じた弦だけを含み、9次元空間でパリティを破れない
  3. ⅡB型超弦:閉じた弦だけを含み、9次元空間でパリティを破る
  4. ヘテロ型超弦 - SO(32)ゲージ対称性
  5. ヘテロ型超弦 - E×E

5つの選択肢のうちの最も簡単な関係は、ⅡA型超弦とⅡB型超弦の間の関係で、T双対性(Tデュアリティ)と呼ばれる。これは、サイクリック宇宙論でも述べたように、ⅡA型理論における半径Rにコンパクト化した状況は、ⅡB型理論における半径1/Rにコンパクト化した状況と等しい、ということである。

ここまでだと、ⅡA型超弦とⅡB型超弦の間だけの関係であるが、ウィッテンは、5種類の超弦理論の間すべてに、T双対性と同様の関係をみつけた。そのときヒントになったのが、10次元の超重力理論だった。もともと、9次元の超弦理論も、重力理論を含んでいるという意味で、9次元の超重力理論であるといえる。ただ、10次元は、超対称性をもつ理論の最大次元である。その観点で、10次元の超重力理論は特殊な意味をもつ。

遡って1987年に、イギリスのポール・タウンゼントが10次元の超重力理論を研究した。すると、9次元の超弦理論で1次元の弦が基本単位になるように、10次元の超重力理論では2次元の膜が基本単位になることが分かった。

そこで、イギリスのマイケル・ダフと稲見武夫は、10次元の超重力理論と9次元の超弦理論で1次元の弦の間に重要な関係を見出した。そこから、10次元の超重力理論こそが本質的で、9次元の超弦理論はそこからコンパクト化により導き出されると考えた。しかし、当時はそれ以上に問題が深堀されなかった。

ウィッテンはそこをさらに追及し、10次元の超重力理論の半径Rの円をコンパクト化したものが、9次元のⅡA型超弦理論の弦の間の結合定数に対応することを見出した。これは、弦の間の結合定数が大きくなると、10次元の超重力理論の、より大きい半径Rに対応し、すなわち、コンパクト化しない10次元の超重力理論に帰着される。ウィッテンはさらに、このような10次元の超重力理論との関係を5種類の超弦理論の間すべてについて見出した。これこそがM理論なのであった。

このように10次元の超重力理論を考えると、2次元の面が基本単位としてあらわれてくるのであるが、そのことをさらに発展させたのが、ジョセフ・ポルチンスキーだった。すなわち、ⅡA型超弦理論において2次元の膜上を端点として弦が動いているというのである。そのような2次元の膜は、Dブレーンと呼ばれた。

その後、Dブレーンに張り付いた開いた弦は、ブラックホールの分子だと解釈されるようになった。これで、超弦理論できちんとブラックホールが扱えるようになった。

Dブレーンの応用として、ブラックホールの事象の地平線の内部の性質を、表面に張り付いた弦だけで説明できるという事実がある。この対応関係を、アルゼンチン出身の物理学者、ファン・マルダセナがきちんと定式化した。その理論によると、9次元のⅡB型超弦理論と、3次元空間の(重力を含まない)場の量子論が対応づけられる。そして、3次元空間の(重力を含まない)場の量子論によって、9次元空間における重力理論がすべて説明できる。これは、Ads/CFT対応とも呼ばれる。Ads/CFT対応は、空間の次元のあやふやさを示唆する。

このように超弦理論は、空間の次元について示唆を与えるが、では時間についてはどうだろうか。それはもしかして、サイクリック宇宙論で述べたような、ビッグバン/ビッグクランチに関連しているのだろうか。ただ、大栗氏の議論には、空間の次元ほどには時間に対する超弦理論の貢献が窺われない。

ともかく、啓蒙書としてこれだけ中身の濃い超弦理論は珍しく、大変勉強になった。理論物理学者としてだけでなく、サイエンスライターとしても、大栗氏は並々ならぬ手腕をもつことが分かった次第である。

ただ、スモーリンの超弦理論小史にあった、ゲアリー・ホロヴィッツ、トマス・ヘルトーク、前田健吾が示した、6次元のカラビ・ヤウ空間を含むすべての解に不安定性がとりつく問題はどう解決されているのだろう。なんとなく超弦理論史は、2003年以降が荒野というか迷路となっているような気がするのだが、錯覚だろうか。

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コメント(4)

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 面白そうなので私も読もうと思い、早速、南米の大河に注文しました。

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南木さん

> 面白そうなので私も読もうと思い、早速、南米の大河に注文しました。

ええ、超弦理論について、これ以上の啓蒙書はちょっとありえないくらいです。

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 ざっと斜め読みしましたが、先日の素粒子に関するNHK特集の第2回目を視ていたので、かなり容易に読み進められました。
 あの第2回目は、この本に沿って作られているのではないかと思えたほどです。

 しかし、この本を読んで、自然数の無限和が-1/12に収束するという場合があるということをはじめて知りました。
 数学者って、ホントにとんでもないことを思いつくものですね。
 しかも、それが超弦理論に大きな影響を与えているとは・・・思いつきもしませんでした。
 超弦理論に出てくる次元数なんて、案外と簡単なアイディアなんですね・・・どうして上の「自然数の無限和=-1/12」と超弦理論とが結びつくのかは、この本を読んでもやっぱりよく分かりませなんだ・・・
 
 それから、この本を読んでも、かの有名な「カラビ・ヤウ空間」は、概念すら全然理解できませんでした。

 ブルーバックスの限界ってもんでせふね・・・

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南木さん

> それから、この本を読んでも、かの有名な「カラビ・ヤウ空間」は、概念すら全然理解できませんでした。

実は、シュプリンガー現代理論物理学シリーズ「超弦理論・ブレイン・M理論」太田信義著という専門書をみてもやはり、「カラビ・ヤウ空間」は出てきません。どうしたのかと思ってこの本の最初の方をみたら、超弦理論のコンパクト化に関連したカラピ・ヤウ多様体については、本書の目的から逸脱するので含めなかった、とあります。残念。

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このページは、あやたろうが2013年10月 2日 06:06に書いたブログ記事です。

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