双子素数

user-pic
0

以前に、双子素数について具体的に計算した結果を述べたが、「21世紀の新しい数学」黒川信重×小島寛之 技術評論社を眺めていたら、双子素数の予想について記述があったので、簡単にメモしておく。

双子素数の定義は簡単で、要するに差が2の素数の対であり、(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)、(29,31)、(41,43)、(59,61)、(71,73)、(101,103)、(107,109)などがその例である。

双子素数の予想というのは、双子素数が無数にあるという予想なのだが、問題の分かりやすさに比べて、証明はとてつもなく難しい。

19世紀にブルンという人が、まるでエラトステネスの篩のように双子素数のようなものを取り出す篩を考えつき、その逆数和の収束性を示したが、そこからは双子素数の無限性は出てこない。ちなみに、双子素数でなく普通の素数の逆数の和をオイラーの無限和と呼び、オイラーはそれが発散することを示した。ただ、恐るべき緩慢な発散であるが。

ちなみに、リーマン予想が証明されると、素数定理がより少ない誤差で計算できたり、剰余位数で述べたアルティンの予想が肯定的に証明されたりするが、双子素数の予想にはあまり貢献しないという。

双子素数の予想に関連して、ニューハンプシャー大学の数学者によって、差が2でなく7千万以下の素数の対が無限にあることが証明されたが、双子素数の予想の証明にはまだ距離がありすぎる。

しかし、双子素数よりもさらに難しいのは、メルセンヌ素数の無限性である。世界最大の素数で述べたように、巨大素数はメルセンヌ素数であると相場は決まっている。数学者のコミュニティでは、メルセンヌ素数の無限性の証明が完成するのは、2500年頃と予想している。2050年の間違いではない。なんと、フェルマがフェルマ予想を提示して、それが証明されるまでにかかる時間よりもさらに長い時間が今からかかると見積もられている。

あと、4以上の偶数は2個の素数の和であらわされるというゴールドバッハ予想というのもある。私は双子素数で、ゴールドバッハ予想=双子素数予想と勘違いしていた。謹んでここに訂正しておく。

ゴールドバッハ予想も証明されていない。しかし、素数の和でなく、素数と素因数が2以下の数の和というように緩和すると、緩和されたゴールドバッハ予想は証明されるという。そういう意味で、差を2より広げるなど、緩和された双子素数の予想もありえる。

双子素数の予想とゴールドバッハ予想は双対の関係にあるというのだが、どういう意味で双対なのか私には全く想像もつかない。

トラックバック(0)

トラックバックURL: http://commutative.world.coocan.jp/mt/mt-tb.cgi/3257

コメントする

このブログ記事について

このページは、あやたろうが2013年11月27日 05:39に書いたブログ記事です。

ひとつ前のブログ記事は「街の灯」です。

次のブログ記事は「藁の楯」です。

最近のコンテンツはインデックスページで見られます。過去に書かれたものはアーカイブのページで見られます。