類体論の流れ

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類体論については昔から興味があって、今から2年くらい前に、約1年かけて、「類体論へ至る道」足立恒雄著、日本評論社を、ノートをとりながらきちんと読んだのだが、どうも理解があやしく、結局ほとんど何も分かっていない。

それで、今年の3月頃だったか、新宿のブックファーストをうろついていたら、「類体論と非可換類体論I フェルマーの最終の定理・佐藤-テイト予想解決への道」加藤和也著、岩波書店というのをみつけて、これは面白そうだと迷わず買って、しばらく積読しておいたのだが、最近やっと読んでみる気になった。仕方ないこととはいえ、数学の本は、どうしても推理小説よりは読み始めるのに気合いが必要である。

それで気づいたのだが、これは「類体論と非可換類体論」というシリーズの第1巻で、その後「古典類体論」、「非可換類体論」、「類体論・非可換類体論研究の諸相」という全4巻のシリーズらしいのだが、なぜか第1巻から5年が経過しても、2巻以降が全く刊行されていない様子である。おそらく、著者の加藤和也さんが忙しすぎるか、本格的な内容なので、執筆が大変なのか、その両方なのかもしれない。

ともかく、この第1巻は、入門的な概説書なのであるが、特にその第1章の「類体論の流れ」というところの箇所は、概説の概説として、大まかに見通すのに好適な内容となっているので、その内容を私なりにまとめてみる。

まず、おおまかな類体論のクロノロジーを与えてみる。

  1. フェルマーの研究(17世紀前半)
  2. 平方剰余の相互法則(ガウス、1796年)
  3. 類体論(高木貞治、1920年)
  4. 非可換類体論の定式化(ラングランス、1970年)
  5. フェルマーの定理を証明したワイルスの仕事を突破口として、非可換類体論の大きなうねり、佐藤-テイト予想の大部分解決(2006年)

類体論の文脈でのフェルマーの研究というのは典型的には、4で割って1余る素数は、x2+y2(x,yは整数)とあらわされるのに、4で割って3余る素数はそうではない、という知見である。このシンプルな結論に比べて、厳密な証明はなかなか難しく、約100年を要してやっとオイラーが証明した。

フェルマーは類似の定理にも気づいていて、それは、8で割って1または7余る素数は、x2-2y2(x,yは整数)とあらわされるのに、8で割って3または5余る素数はそうではない、というものである。

このようなバリエーションは実は無数にあって、それは、有理数Qに√m(mは、平方数でない整数)を付加してできる拡大体をつくることと等価なのだった。

すなわち、素数であっても、Q(√m)の世界では、分解できて素数でなくなることがある。

平方剰余の相互法則における平方剰余というのは、mod pの有限体Fpの世界の話で、a2=bとなるaが存在するなら、bはFpで平方剰余をもつといい、ルジャンドルの記号(b/p)=1と書き、そうでないなら、(b/p)=-1である。実はルジャンドルの記号というのは楯に数字を分数のように並べるのであるが、ここでは便宜的にa/pと書いている。

mod 5でみると、3a2=4なので、(4/5)=1であり、一方、a2=2をみたすaはF5には存在しないので、(2/5)=-1。また、4=-1なので、(-1/5)=1であり、なんと、F5には-1の平方根が存在するのであった。

平方剰余の相互法則とは、(a/p)と(p/a)の間の関係式であり、これこそガウスが愛した数式なのであり、ガウスはこれの証明を何種類も与えた。

戻って、類体論とは、Q(√m)のような拡大体における素イデアルの分解法則なのだった。ただ私の稚拙な理解では、そこで平方剰余の相互法則がどのような役割を果たすのか分からない。それは追々理解していくことにする。

類体論で扱うことができる素イデアルの分解法則は、Q(√m)のような拡大体に限らない。拡大体のガロア群が可換であるような拡大をアーベル拡大というが(正しいか?)、高木貞治はQのアーベル拡大体を拡張して、一般の代数体のアーベル拡大体における素イデアルの分解理論を提示した。特定の条件で素イデアルに分解するという類別をするということで、高木はそれを類体と呼び、なので類体論なのであった。ここでようやく、4で割って1余る素数は、x2+y2(x,yは整数)とあらわされるのに、4で割って3余る素数はそうではない、というフェルマーの知見が類体論の一部なのだと理解した。私はなんと察しが悪いのだろう。

こうしてアーベル拡大体の、すなわち可換の類体論が完成されると、非アーベル拡大体の、非可換類体論というものが、目が見えない人が象のしっぽに触るように微かに理解される。

谷山豊や志村五郎は、非可換類体論上で例の谷山・志村予想を提示した。特にそれは2次の非可換類体論に関するものであり、ワイルスのフェルマーの定理の証明もまた、2次の非可換類体論の枠組みにおいてであった。

佐藤-テイト予想の大部分解決は、もっと拡張したn次の非可換類体論におけるものであった。

類体論には別の拡張があり、それは数の世界の類体論を関数の世界の類体論に拡張したいわば幾何版である。1990年のドリンフェルトのフィールズ賞受賞は、2次の幾何版非可換類体論に関するものであった。

幾何版の非可換類体論というのは場の量子論のような物理学とも関係するらしいが、私の知識では全くもって想像もつかない。もしかして、私がたまたまもっている「弦理論の代数的基礎」高橋篤史著、サイエンス社という本はそのあたりのことを言っているのだろうか。違うような気もするが、ともかく機会があったら、一流レストランの傍を通りがかって匂いだけでもかいでみるようなことをしたみたいものである。

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このページは、あやたろうが2014年8月22日 22:04に書いたブログ記事です。

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