素数定理

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昔、何かの本で、x以下の素数の個数はx/log xに漸近的に等しいという素数定理をみて、ええっ、そんなことがありえるのかととても怪訝に思った記憶がある。なぜなら、どうみても何かの規則に従い素数が現れているようには思えないからである。

さて、私の愛読書?の一つの、「素数大百科」共立出版によると、素数定理に関与した数学者には、ルジャンドルやガウスやリーマン等がいる。x以下の素数の個数はなぜかπ(x)と表記するらしいが、ルジャンドルはπ(x)の近似公式を、x/(log(x) - 1.08366)と与えた。その後、ド・ラ・ヴァレ・プサンは、よりよい近似公式としてx/(log(x) - 1)を与えた。

なお、別の愛読書である、黒川信重著「ラマヌジャン ζの衝撃」現代数学社によると、ラマヌジャンもまた素数公式を与えたらしい。それは残念にも間違いを含んでいたが、それでも、相当に核心に迫っていたのであり、独自に素数公式を導いたというラマヌジャンの才能の缺欠の例証になるものではない。

さて、折角なので、自分のエラトステネスの篩のプログラムの出力に基づき、π(x)とx/(log(x) - 1)を比較する表を作成してみた。以下のとおりである。

これから、かなり緩いが、xが大きくなるにつれて、次第にx/(log(x) - 1)はπ(x)に近づくことが分かる。また、蛇足だが、表のデータを求るために用いたPerlプログラムのソースコードを以下に示す。

# sieve.txtは、エラトステネスの篩のプログラムの出力ファイル
open FI, "<sieve.txt" or die "sieve.txt not found.";

$LIM = 100;
$n = -3;  #最初の2つはダミーなのでスキップ
while (<FI>)    {
 chomp;
 $n++;
 $m = $_;
 if ( $m > $LIM )    {
  printf "%d\t%d\t%15.3f\t%6.2f\n",$LIM,$n,$LIM/(log($LIM) - 1.0),
 100.0*($n - $LIM/(log($LIM) - 1.0))/$n;
  $LIM *= 10;
 }
}

  printf "%d\t%d\t%15.3f\t%6.2f\n",$LIM,$n,$LIM/(log($LIM) - 1.0),
 100.0*($n - $LIM/(log($LIM) - 1.0))/$n;

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このページは、あやたろうが2018年3月11日 09:03に書いたブログ記事です。

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