発散級数の和

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黒川信重「ラマヌジャン ζの衝撃」現代数学社の発散級数の和のところを眺めていて、これは決して初めてみたわけではないが、何度みてもトリッキーである。典型的には、以下の式である。

普通に考えたら、左辺は-∞になるので、ありえないのだが、ともかくこの級数は、アーベルの総和法という技法を使って、以下のような多項式の級数に変換される。それにしても、アーベル大先生が、こんなまやかし?に加担していたとは(笑)

プロの数学者には、この式変形は自明なのだろうが、私のような弱小アマチュアには理解できないので、自分にもわかるように段階を追って行間を埋めてみた。まず、以下のように、1+xの逆数の級数展開を得る。

すると、(1+x)2の逆数の級数展開は、以下のとおりとなり、さらに変形される。

最後の式変形は、xkの係数に着目すると、(左側の括弧からのn=0の項)×(右側の括弧からのn=kの項)+(左側の括弧からのn=1の項)×(右側の括弧からのn=k-1の項)+・・・+(左側の括弧からのn=kの項)×(右側の括弧からのn=0の項)となって、そのような項の各々はどれも(-1)kであって、この項の数が(k+1)個あることに基づく。

よって、以下の式変形が成り立つ。この式の左辺は確かに、x → 1-0の極限で、1/4になる。

と、一応式は追えたものの、トリックの種明かしは分からないままである。

ところが、上記の式の応用で、以下の、よりトリッキーな式が導き出される。

これの導出は、まずc= 1 + 2 + 3 + 4 + ・・・とおく。 そして、c - 4cを以下のようにつくる。4cを、ずらして一つ飛ばしで引くのがミソである。

c = 1 + 2 + 3 + 4 + ・・・
4c =    4     + 8 + ・・・

すると、c - 4c = -3c = 1 - 2 + 3 - 4 + ・・・
なので、c = 1 + 2 + 3 + 4 + ・・・は、1 - 2 + 3 - 4 + ・・・の結果を-3で割ったものになるという次第である。

これを単なる数学的トリックと嗤ってはいけない。なぜなら、例えばこれらの式は、超弦理論の空間次元にも関与してくるのである。もしかしてゼータ関数の解析接続などに関係があるのかもしれないが、私は不勉強でそのあたりの意味が全くわからない。他のより複雑な発散級数の和と併せて、勉強してみる。

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このページは、あやたろうが2018年6月 5日 05:04に書いたブログ記事です。

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