物理学の最近のブログ記事

潘建偉

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読売新聞によると、中国がその豊富な資金を投入して、科学技術研究着々と実績を積み上げている。その中でも注目を集めているのは、遠距離量子通信技術の専門家である潘建偉氏である。まず、Science Portal Chinaのページから引用する。

2017年 12月19日
ネイチャー誌は17日、今年1年で科学に重要な影響を与えた「今年の10人」を選出し、中国からは物理学者の潘建偉氏が選ばれた。また、重力波観測施設「VIRGO」の天文学者マリカ・ブランケージ氏らが選ばれた。ネイチャーの編集者は、「量子通信やゲノム編集、潜在的な核の危機、米国の環境保護政策の後退など、これら選出された10人が2017年の科学の成果と挫折をもの語っている」とした。科技日報が伝えた。
ネイチャーは入選者全員を記事で紹介。そのなかで「量子の父」(FATHER OF QUANTUM)と題した潘氏に関する記事では「彼は中国で、量子の父と呼ばれている。潘氏はその呼び名にふさわしい人物だ。潘氏に率いられ、中国は遠距離量子通信技術におけるリーダー的国家となった」と紹介された。
潘氏が率いる世界初の量子科学実験衛星「墨子号」のチームは今年6月、1000キロ級の衛星・地球双方向量子もつれ配送を実現し、世界で長年維持されてきた100キロ級の記録を打破した。関連成果はサイエンス誌に掲載された。それから約1ヶ月後、同チームは再び世界で初めて1000キロ級の衛星・地球双方向量子通信を実現した。関連成果はネイチャー(電子版)に掲載された。

読売新聞の記事に戻って、潘建偉氏は、イギリス紙のインタビューに応え、中国政府が今後5年間で、20億ドルを量子力学の分野に投資する述べたそうである。

また、潘建偉氏(Jian-Wei Pan)は、今年のTIMEのTHE 100 MOST INFLUENTIAL PEOPLEにもリストされている。その記事を書いたウィーン大学の物理学教授で量子情報や量子テレボーテションの権威のアントン・ツァイリンガーによると、潘氏なくして、量子技術の勃興は考えられないという。

潘氏が一躍有名になったのは、上述のように去年の夏、彼が地上と、300マイル以上の上空の起動にある中国の人工衛星Micius(上記記事では、墨子とある)の間で、光子の量子状態を用いて量子通信を達成したからである。ツァイリンガーは、潘氏の指導教授であった。

そういえば、去年の暮たまたま仕事で、ディープラーニングなどのAI関係の技術論文を調べる機会があったが、ほとんどの著者が中国人で、米国人や欧州人もほとんどおらず、日本人は一人もいないので唖然としたことがあった。まさに中国の科学技術畏るべしである。

ダークマター探索のその後に書いたように、私は宇宙のダークマターに関心をもっているが、読売新聞の記事で「宇宙膨張 予測より速い?」という記事をみたので、そうなのかと記事を読んでみた。読売新聞ウェブの記事から引用してみる。

国立天文台などの研究チームは27日、宇宙に大量にあるとされる「暗黒物質」の分布を調べる観測で、宇宙が膨張する速度が今まで考えられていたより速い可能性があることがわかったと発表した。
今後、さらに広範囲を観測して検証する。
誕生から約138億年たった宇宙は、現在も膨張しており、その速度は加速していると考えられている。宇宙の質量(重さ)の約4分の1を占める暗黒物質は、重力で互いに集まって塊をつくる一方で、膨張する速度が速いと集まりにくい性質を持つ。このため、宇宙の広い範囲で暗黒物質の分布を調べれば、膨張がどのように進んできたのかに迫ることができる。
宮崎聡・同天文台准教授らは、米ハワイのすばる望遠鏡に取り付けた高性能カメラを使い、遠方の光が強い重力で曲げられる様子を観測する手法で、直接見ることができない暗黒物質がどのように分布するのかを調べた。

これに対する私のコメントは、「宇宙が膨張する速度が今まで考えられていたより速い可能性があることがわかった」というからには、宇宙が膨張する速度というのは理論的な推定式が確立しているのだろうか、ということである。確か宇宙を重力でとりまとめているのがダークマターであり、一方宇宙の膨張を担うのはダークエネルギーである、というのが通説であるが、ある意味ダークマター以上に謎が深いダークエネルギーから膨張速度の定量的な議論はまだできないはずで、すると、宮崎聡・同天文台准教授らの議論は、あくまでも過去の観測結果との比較ということになる。

ともかく私は、手持ちの下記の本を眺めて、ダークマターとダークエネルギーに想いを馳せることにする。

  1. 村山斉「宇宙は何でできているのか」幻冬舎新書
  2. 佐藤勝彦・二間瀬敬史編 シリーズ現代の天文学「宇宙論Ⅰ-宇宙のはじまり」日本評論社

重力波観測

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私は数年前に毎日新聞から読売新聞に切り替えた。その理由は、読売新聞の方が購読更新契約の際の景品がいいということなのだが、切り替えてみてニュース記事は毎日新聞の方が分かりやすいし、将棋の順位戦はないし、プロ野球は当然だが巨人に強く偏向しているしで、あまり満足していなかった。

しかし意外にも、読売新聞は科学欄が充実しているのだった。それで今までその科学欄に基づきブログ記事をたくさん書かせて戴いた。そんな経緯があるので、先日読売新聞の販売員から購読継続の打診があったときも、あっさりオッケーした。こういうとき、渋るふりして余計に景品をせびるみたいな人もいるらしいが、そういうのは私は苦手である。また、カープファンであることは隠して、販売員に、巨人CSに出られなくて残念でしたねと話しかけたら、そうなんですよ、選手は大型補強したんですが、監督がどうなんですかね、というので、ええ、本当は巨人が一番強いと思いますよ、と応じておいた。それは実は私の本音で、それが証拠に巨人はカープ以外すべてのセリーグのチームに勝ち越した。また交流戦ではソフトバンクに勝ち越した。将棋でいえば、盤上の駒は強力なのに、駒の効率が悪いのだろう。

さて、日曜日でもないのに読売新聞に重力波観測の解説記事があったので、私なりにメモしてみる。

今回重力波が観測されたのは、地球から1億3000万光年離れた中性子星が二つ合体した天体である。すなわち、中性子星が合体した際に重力波が発生し、それは今年の8月17日に米欧の観測所が観測した。これで重力波の観測は通算で五回だが、それはすべてブラックホールの合体だった。今回は中性子星の合体だったので、重力波の観測の約2秒後、人工衛星、フェルミ宇宙望遠鏡が南天でうみへび座の方向からきたガンマ線を観測した。ブラックホールの合体の場合、ガンマ線を観測できる可能性は低い。

中性子星の合体は、ガンマ線だけでなく可視光、赤外光など波長の異なる電磁波を放射する。

そこで日本のチームも合体した中性子星を観測したところ、レアアースのスペクトルが観測された。するとどうも中性子星の合体によりレアアースが生じるらしい。今までレアアースが生成される仕組みは分かっていなかったので、これは画期的である。中性子星の合体により放出された中性子が鉄などの原子に吸収されるとβ崩壊により一部が陽子になり、原子番号を増やす。

なお、インフレーション理論によると、インフレーション初期に発生した重力波は原始重力波と呼ばれ、宇宙誕生からわずか38万年後の宇宙の晴れ上がりまでは電磁波では様子が観測できないので、原始重力波がそれまでの情報をもっている可能性がある。いつか誰かが原始重力波を観測するのだろうか。そしてそれが原始重力波だとどうやって分かるのだろうか。

大栗博士の重力とは何か、幻冬舎新書が面白かったので、その続編ともいうべき、「強い力と弱い力」幻冬舎新書も読んでみた。流石にこれも充実の内容だったが、「重力とは何か」よりもはるかに込み入っていて、まとめきれる自信がない。ともかく、この本を読んだことに基づき、取り留めもなく書いてみることにする。

まず最初に目についた説明は、弱い力の大きさが核反応の速度を決める、ということである。すなわち、中性子 → 電子 + 陽子のような反応に弱い力が関与している。

一方、陽子や中性子の質量の大部分は強い力の寄与であり、ヒッグス粒子による質量の寄与は全体の1%に過ぎない。だとしてもヒッグス粒子がないと、素粒子界はまとまりがつかないのでどうでもいいということにはならないが、ヒッグス粒子を神の粒子のように言いなすのは誇大広告ということになる。このあたりは、質量の起源にも書いた。

さて、素粒子論における力は、粒子に運動を与えるだけでなく、粒子の種類を変化させることがある。また、粒子があれば、それによる場が生じる。なので、電子場、クォーク場というのも考えるべきである。そして場から波が生じる。電磁波の正体は光である。

さて、素粒子にはフェルミオンとボソンがあり、物質をつくるフェルミオン、力を伝えるボソンという役割分担がある。強い力を媒介するのはグルーオンであり、弱い力を媒介するのは、電荷をもつWボソンと、電荷をもたないZボソンである。

ここまではいいとして、中性子の数が偶数の原子や、原子数が偶数の原子核はボソン、という説明をみると、あれっ、物質をつくるフェルミオンじゃなかったのか、と分からなくなった。

ちなみに、ヒッグス粒子もボソンであり、強い力、弱い力、電磁力、重力とは異なる第五の力を媒介する。

遡って、中性子は、1932年にチャドウィックにより発見された。一方、1934年に、湯川秀樹が核力を伝える新たな粒子の存在を予言した。1947年にセシル・パウエルが、宇宙線の中にπ中間子を発見し、これはまさに湯川が予言していたものだったので、湯川のノーベル賞につながった。

なお、端緒が決して喜ばしいことではないが、原子爆弾の成功により、米国では原子核物理学が政府から大きい支援を受けるようになった。それによって建造されたローレンス研究所のベパトロンは、陸続と新しい粒子を発見につながり、この豊作に理論家たちはなすすべもなく、すっかり影が薄くなってしまった。なにしろ新粒子たちを統一的に説明できる理論がない。粒子加速器の歴史という記事も参考にされたい。

しかし理論家も手を拱いていない。カリフォルニア工科大学のマレー・ゲルマンがクォーク・モデルを考え出した。これにより、多数ある素粒子を統一的に分類できるようになった。

しかし、いくら実験しても、単独のクォークが確認されない。するとクォーク・モデルは正しいのかということになるのだが、クォークを結びつけるグルーオンに漸近的自由という概念を適用し、離れるほど引き合うのだという、ある意味牽強付会のような理論で乗り切った。

さて、ディラックの方程式は、量子力学に特殊相対論を適用することで、電子の挙動を記述することができるものだった。それを電磁場に適用する理論は、ハイゼンベルクとパウリにより構築されたが、無限大の困難を克服できなかった。

結局、シュヴィンガー、朝永、ファインマンが繰り込みによって電磁場における無限大を克服した。

しかし、折角の電磁場の量子理論も、新粒子のラッシュに対応できず、上述のように場の量子論はすっかり信用をなくしてしまったのだが、そこにさっそうと登場したのが、ヤン・ミルズ理論である。ヤン・ミルズ場では、素粒子の運動状態だけでなく、粒子の種類も変化させる。また、質量のない素粒子の存在を予言した。これは、のちにグルーオンに対応すると分かった。すると、ヤン・ミルズ理論は、ゲルマンのクォーク・モデルと対で理解すべきなのだろうか。

但し、ヤン・ミルズ理論にも無限大発散の困難があった。それを解決したのが、オランダの天才物理学者、トフーフトで、ヤン・ミルズ理論の繰り込みに成功した。その計算の中にマイナス符号が出てくるのだが、それはグルーオンの漸近的自由に対応すると分かった。

こうして、ヤン・ミルズ場は強い力を説明できたが、弱い力には適用できなかった。その裏にはヒッグス場の存在があった。

ところで、ベータ崩壊は、中性子 → 陽子 + 電子 + 反ニュートリノという反応だが、ここに弱い力が関与する。弱い力の場を繰り込み可能にするには、WボソンとZボソンを想定する必要がある。

一方で、素粒子論のメモに書いたように、クォークとそれの対のレプトンには世代がある。世代の内部で、クォークは赤・青・緑のどれかの色をもつ。強い力は、クォークの色は変えるが世代は変えない。弱い力は、強い力と違って、クォークの世代を入れ替え、またニュートリノと電子を入れ替える。弱い力の入れ替えには対称性がないので、弱い力にはヤン・ミルズ理論が使えない。

なお、益川・小林理論によれば、消えた反物質で述べたように、3世代のクォークは、反物質に対する物質の優位性を実現する仕組みなのだった。これの続きは、反物質の消滅に述べた。

そこで改めて、弱い力の謎として以下のことが提示される。

  • Wボソンの質量
  • 対称性のない粒子を入れ替える
  • フェルミオンの質量

ここで、満を持して登場したのが、南部陽一郎であって、自発的対称性の破れの理論でこれらの疑問に対する回答を与えた。南部は、超伝導のBCS理論に夢中になった。すなわち、超伝導状態では、電子の数が定まっていない。ネーターの定理によれば、物理量が保存されるためには、自然法則が対称性を保っている必要がある。すると、電子の数が定まっていないということは対称性が破れていることを意味する。

そこで南部によると、対称性が破れると光が重くなり、横波だけでなく縦波も現れる。さらに質量ゼロの粒子が現れる。それはすなわち、南部・ゴールドストン・ボソンが光の縦波に変身し、合一して光に質量が与えられる。すなわち南部は、カイラル対称性が自発的に破れるなら、粒子が自然に質量をもつと考えた。

ヒッグスは、マイスナー効果に特殊相対論を組み込んだ。そこでは対称性の破れをどう素粒子論に適用するかが問題で、ヒッグス粒子は付随的な存在だった。

ワインバーグは、自発的対称性の破れは、弱い力と電磁力に使うべきで、ヒッグス場の働きによる対称性の自発的破れによってWボソンが質量をもつと説明した。これは、Wボソンの質量の謎を解明するものである。

対称性のない粒子を入れ替えるという問題については、ベータ崩壊でダウン・クォークがアップ・クォークに変化するように、弱い力が性質の違う素粒子を入れ替える、とされた。そこでは、ヒッグス場を使うことで、弱い力にヤン・ミルズ理論が使えるようにした。

さて、素粒子には固有のヒッグス荷があり、ヒッグス荷によってヒッグス場が粒子に与える質量が異なるのであるが、ヒッグス荷がどのように決まっているのか、うまく説明できない。

すなわち、ヒッグス場は、カイラル対称性を破るためだけに導入されたのであり、その理論からはヒッグス粒子の質量が予測できていなかった。

ヒッグス粒子はもともと、神の粒子(God particles)ではなく、いまいましい粒子(godamn particles)なのではと言われていた。

ともかく、ヒッグス粒子は126GeVで見つかった。

一方、例のトフーフトは、ヒッグス場によって対称性が破れた場合にも繰り込みが可能であることを示した。

戻って、ワインバーグ・サラム理論は、弱い力のボソンが二つあると予言した。それは、電荷をもつWボソンと、電荷をもたないZボソンである。

すなわち、中性子 → 陽子 + Wボソンを放出し、Wボソンはニュートリノと反応して電子になる。

一方、Zボソンの場合、電子 + ニュートリノ → 電子 + ニュートリノと何も変えない。実際、1983年にCERNで、バンデルメアとルビアがZボソンを確認し、これにて標準理論が完成した。

すなわち、標準理論は、特殊相対論、量子力学、ゲージ理論(ヤン・ミルズ理論)、対称性とその自発的破れからなる。

標準理論は、下記のような課題を抱えている。

  1. 重力への対応
  2. 重力以外になぜ、弱い力、強い力、電磁力、ヒッグス力の4つの力があるか説明すること
  3. クォークがなぜ3世代あるのか説明すること
  4. 暗黒物質、すなわち銀河の質量を辻褄を合わせる物質の説明
  5. 暗黒エネルギー、すなわち宇宙膨張の原因エネルギーの説明

大栗博士は、これを説明する可能性のある理論として、超対称性理論を挙げるが、なぜか自らの専門の超弦理論には言及していない。重力とは何かで十分に説明したからであろうか。あるいは、この後書かれた大栗先生の超弦理論入門に思いを込めたのだろうか。

4年以上前に、ダークマターという記事を書いたが、さいきん読売新聞の科学欄に暗黒物質(ダークマター)に関する記事があったので、これに基づき、前の記事との重複を厭わず簡単にまとめてみる。

まずダークマターの質量であるが、宇宙全体で原子などの通常の物質の5倍以上を占める。その質量による重力は、宇宙空間に漂うガスや塵などを引き寄せ、宇宙初期から、星や銀河を形作る骨格のような役割を果たしてきたと考えられている。また、高速で回転する銀河の星々が遠心力で飛散しないのも、ダークマターが銀河を覆うようにして重力で引き付けているからだという。もしダークマターがなかったら、網目のように銀河が連なる宇宙の大規模構造にはならなかったということである。

しかし、ダークマターは、質量は大きいが電磁波を出さないので、観測が難しい。それでも重力を手掛かりに分布を調べようという研究が始まっている。光がダークマターのそばを通過すると、一般相対論の効果で光が曲がるので、それを観測することで、どこにどれだけダークマターがあるかを解き明かそうとする。国立天文台の宮崎聡准教授は、ハワイにある、すばる望遠鏡に取り付けた高性能のカメラで、広範囲の銀河を観測し、分布図の作成を進めている。

ダークマターそのものに対する探究も進んでいる。例えば、日本、米国、イタリアの協同によるCALET実験では、国際宇宙ステーションに観測装置を配置し、2015年からダークマターの痕跡を追っている。これは、ダークマターで書いた下記のことの継承だと思われる。

消滅する前の陽電子をISSで観測するというのが、AMS計画の構想である。AMSでは、2011年から1年半かけて宇宙空間の粒子約250億個を観測した。そのうち電子は640万個、陽電子は40万個。陽電子のエネルギは、5億から3500億eVと幅広く分布しており、陽電子の電子に対する比率は、ダークマター同士の衝突により生じたとされる陽電子の比率の予測値と近かった。

また、そこで

一方、神岡鉱山地下1000メートルに建設された、東大宇宙研究所の大型検出装置「XMASS」も、ダークマター観測を意図している。それは、マイナス100度の液体キセノンを満たした球形の検出器において、キセノンの原子核にダークマターが衝突すると、微小な光が発生し、それを光電子増倍管が捕らえるというものである。
とかいたことも、現在継続中である。

さらに、欧州合同原子核研究機関(CERN)の加速器LHCでも、光速近くまで加速させた陽子同士を衝突させ、熱い宇宙の初期状態を再現することで、ダークマターの候補となるような未知の粒子を探している。

それではダークマターとは一体何なのか。ダークマターでは、下記のように述べた。

ダークマターの正体は不明であるが、こちらにも書いたように、超対称性モデルでの、ニュートラリーノではないか、と予測されている。あるいは、グラビティーノも候補である。これらの粒子は、現在確認されている最も重い素粒子であるトップ・クォーク(1720億eV)の数倍から数十倍の重さであると想定されている。ちなみにヒッグス粒子は、1260億eVである。

ダークマターの候補は、WIMPやMACHOと呼ばれているそうであるが、全く内容を知らないので、調べてみることにする。

もちろん、ダークエネルギーのことも考えなくてはならない。現代宇宙論ほど綾のある分野はなかなかないのではないだろうか。

12歳の少年が書いた量子力学の教科書で、

ここまで相対論といっても、特殊相対性理論しかでてこなかったので、いよいよ一般相対性理論も登場して、"theory of everything"を謳うなら、量子力学と一般相対性理論とを融合させるべしみたいな議論になってきたが、このあたりどうしても端切れが悪い。しかし、どんな物理学者がそのあたりを歯切れよく説明できるのだろうか。大栗博司博士ならできるだろう、きっと。
と自分で書いたことをきっかけとして、大栗博士の「重力とは何か」幻冬舎新書を読んでみた。すると流石大栗博士、と感心した。

最初にびっくりしたのは、1/20ミリメートル以下では、ニュートンの逆二乗法則が成立しているかどうかわからない、という記述で、そんな粗いレベルでニュートンの逆二乗法則は怪しいのかと怪訝になった。

それから、アインシュタインが想到したという慣性質量と重力質量の等価性が言及され、ううんなるほどそれはなかなか非自明かもしれないと改めて感心した。そしてここから一般相対論が始まる。

それと並行して、特殊相対論も言及され、例のE = mc2が示される。そこから2次元空間では重力波は伝わらないという議論がなされ、ううんそうなのかと唸ってしまった。

一方、1905年にアインシュタインが、特殊相対論とブラウン運動と光量子仮説の3つの超ド級の業績を挙げたことが言及され、アインシュタインがいかに凄いか改めて確認した。

それだけではない、重力が要するに、時間や空間の性質の変化なのだという洞察がアインシュタインによってなされ、宇宙の仕組みを記述するものとしての一般相対論が提唱された。

そして一般相対論は水星の軌道を説明することができ、一気にその信ぴょう性が注目された。しかしその一方で、1930年にはカルテックのフリッツ・ビッキーが、ダークマターの存在を示唆した。すなわちダークマターは未知の素粒子なのではないかという示唆である。この問いかけはまだ解明されていない。

一方、アインシュタインは、一般相対論を使って重力波の存在を予言した。それは連星が出すエネルギーの値ほぼ一致し、一般相対論の妥当性がさらに高まった。

しかし、一般相対論の鬼っ子とでもいうべき、ブラックホールが注目され、これは一般相対論では説明できないものだった。尤も、のちにシュバルツシルトが解を与えた。さらに、ハッブルが膨張宇宙論を提唱し、それが実際に観測されると、時間を遡った段階のビッグバンの存在がガモフによって提唱された。

さて、朝永・ファインマン・シュヴインガーの繰り込み理論は、量子力学と電磁気学を融合させることに成功したが、重力がからむと無限大の発散の問題を回避できなかった。

そこでホーキングが指摘したのは、一般相対性理論と量子力学が正しいと仮定してのブラックホール情報問題である。それを解決したのが超弦理論のDプレーンの理論である。それと、大栗博士の自家薬籠中のトポロジカルな超弦理論によって、ブラックホール情報問題が解決できて、超弦理論は一気に注目を浴びた。

それだけではない、ベトナムから来た理論物理学者ダム・ソンらが、超弦理論のホログラフィー理論を使って、クォーク・グルーオン・プラズマの現象を予測し、それは2005年の金原子の衝突による実験で確かめられた。すなわちダム・ソンらは、超弦理論のホログラフィー理論を使って、3次元空間のスクリーンの様子を4次元空間の重力理論に翻訳したのである。この手法は、説明がついていない高温超伝導をも説明するかもしれないと言われている。

このあたりの状況は、超弦理論批判に対する反批判にも書いたとおりであるが、ここから超弦理論を、"theory of everything"へとどう導くか、長い道のりなのではあるまいか。しかも、道は途切れているかもしれないし。

野球中継を観ていて、外野にホームラン性の当たりが飛んだのだが、いまいち伸びを欠いて外野手に取られてしまった。その当たりは、かなり大きい仰角で飛んだのだが、解説者が、物理学では45度で飛ぶのが一番遠くまで飛ぶそうなんですが、実際は30度くらいがホームランになりやすいんです、というので、ええっ、そうなのかと少し驚いた。

記憶では、45度が一番飛ぶというのは力学の方程式で簡単に手計算可能であって、改めて実際に計算してみると、sinθ・cosθという項が出てきて、これは要するにsin2θ/2なので、θ=45度が飛ぶ距離が一番長いということになる。

でも実際は当然に空気抵抗があって、θ=45度がベストということにはならないはずである。そこで、例えば速度に比例する空気抵抗を受けると仮定して、運動方程式を解いてみることにした。

流体力学の理論を完全に無視して、速度に対する空気抵抗の比例定数をwと置き、下記のような式を立ててみた。

そして仮にw = 0.28と置いて、例によってルンゲ・クッタで軌道を求めてみたのが、下図である。

この図には6本の軌道が描かれており、一番上の軌道は射出角度45度、w = 0の場合。速度の絶対値はどれも同じと想定しているので、この場合が一番遠くまで届く。

次は射出角度45度、w = 0.28の場合。みて取れるように、空気抵抗の影響で、軌道は急速に落ちている。

次は射出角度30度、w = 0.0の場合。当然だが、射出角度45度、w = 0の場合ほどは届かない。

さて次は射出角度30度、w = 0.28の場合。なんと、射出角度45度、w = 0.28の場合よりも遠くに届いている。まるで、野球の解説者の発言を裏付けるようである。実際、射出角度45度の場合、滞空時間が長いので、空気抵抗の影響を一層受けるのであろう。

なお蛇足として、射出角度24度でw = 0とw = 0.28の場合をそれぞれ示した。期待したがやはり、射出角度30度の場合には敵わないようである。

例によってプログラムのソースコードを示す。

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>
#include <math.h>
#pragma hdrstop

#include "Main.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
const double H = 0.000001;  // 刻み
const double pi = 3.14159; //円周率
const double g = 1.0; // 重力定数
double V = 4.0;       // 初期速度
void Orbit(double xi, double yi, double TH, double w, TColor CL);
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
	: TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Close1Click(TObject *Sender)
{
 Close();
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Run1Click(TObject *Sender)
{

// 座標線を引く
 Canvas->MoveTo(30,500);
 Canvas->LineTo(30,20);
 Canvas->MoveTo(30,500);
 Canvas->LineTo(900,500);
// 初期位置と速度
 Orbit(0.0,0.0,pi/4.0,0.0,clBlack);
 Orbit(0.0,0.0,pi/6.0,0.0,clRed);
 Orbit(0.0,0.0,pi*24.0/180.0,0.0,clGreen);
 Orbit(0.0,0.0,pi/4.0,0.28,clNavy);
 Orbit(0.0,0.0,pi/6.0,0.28,clPurple);
 Orbit(0.0,0.0,pi*24.0/180.0,0.28,clLime);

}
//---------------------------------------------------------------------------
void Orbit(double xi, double yi, double TH, double w, TColor CL)   {
double x,y,u,v; // 位置と速度
double a1,a2,a3,a4;  // dx
double b1,b2,b3,b4;  // dy
double c1,c2,c3,c4;  // du
double d1,d2,d3,d4;  // dv
double px, py;

x = xi;
y = yi;
u = V*cos(TH); v = V*sin(TH);

  while ( y >= 0 )                       {
  a1 = u;
  b1 = v;
  c1 = -w*u;
  d1 = -g - w*v;
  a2 = u + H*c1/2.0;
  b2 = v + H*d1/2.0;
  c2 = -w*(u + H*c1/2.0);
  d2 = -g - w*(v + H*d1/2.0);
  a3 = u + H*c2/2.0;
  b3 = v + H*d2/2.0;
  c3 = -w*(u + H*c2/2.0);
  d3 = -g - w*(v + H*d2/2.0);
  a4 = u + H*c3;
  b4 = v + H*d3;
  c4 = -w*(u + H*c3);
  d4 = -g - w*(v + H*d3);
  x += H*(a1 + 2.0*a2 + 2.0*a3 + a4)/6.0;
  y += H*(b1 + 2.0*b2 + 2.0*b3 + b4)/6.0;
  u += H*(c1 + 2.0*c2 + 2.0*c3 + c4)/6.0;
  v += H*(d1 + 2.0*d2 + 2.0*d3 + d4)/6.0;
  px = 30.0 + 50.0*x;
  py = 500.0 - 50.0*y;
  Form1->Canvas->Pixels[px][py] = CL;
 }  // end of while
 return;
}

私がアマゾンの本を散策していとき、近藤龍一著、「12歳の少年が書いた量子力学の教科書」ベレ出版という本をみつけて、若い天才が好きな私はついどんな本だろうと思ってしまった。しかも内容が私好みの物理のテーマである。

それからしばらくして、たまたまある知り合いから、「12歳の少年が書いた量子力学の教科書」という本が出たので、この本を読んで、ブログでこの本の書評を書いてくれないか、と依頼を受けた。そういう書評のご指名というのは滅多にないことで名誉なことと、自宅から歩いて30分程度の新刊書店に注文しにいった。店員にそれを告げると、その本なら置いてますよ、というので、へぇこんな本が一般書店に並んでいるんだ、とちょっと驚いた。

そして、購入すると、休みの日にノートをとりながら、この本を読んでみた。実はアマゾンのコメントでちょっと厳しいものもあったので、さあどうかなとちょっ懸念した面もあった。ところが読んでみると、うーん、と感心する内容だった。

さて、書評に入る前に著者のプロフィールについて簡単に触れておく。近藤龍一さんは2001年生まれで、すると今16歳でまだ高校生である。しかし、この本を書き始めたのは2014年2月で、まさにまだ12歳のときだった。それは中学受験の2日後だった。ちなみに近藤さんは、八王子学園・八王子中学・高校に通っている。

なにしろ子供の頃から知識欲の塊で、いろいろな専門書を読んで独習していたという。ドワンゴの川上氏もそういう子供だったらしいが、近藤さんは9歳のとき量子力学をものにしてやろうと思った、というからさらに上をいっている。そしてその勉強が嵩じて、自分でも本を書いてみたくなったらしい。そもそも教え好きでもあるらしい。

そこで、書評というか内容の紹介に入る。するとまず、第0章で、量子力学とは何かという短い章でいきなり、量子力学の不可解性がきちんと説明されていて、ここだけ読んでなんとなく全体の梗概のようになっている。近藤さんがなかなか手慣れていることもわかる。

次の第1章もなかなか特徴的で、なんと「万物の根源」と称して、旧約聖書の引用から始まっている。確かに"theory of everything"を謳うとき、そこから始めるのもありだと思う。さらにうれしいのは、タレスなどのソクラテス以前の哲学者にも言及していることである。そして原子論の始祖をレウキッポス、デモクリトスあたりから始めるのもいい。時代を経て、分子論のドルトンが出てくるのもいい。このような構成にした根拠を近藤さんは、ファインマンが至高の知識として「原子仮設」を挙げたことに言及する。

ここから、空洞輻射、黒体輻射など量子力学前夜の話になる。レイリー・ジーンズ、シュテファン・ボルツマン、ヴィーンの公式、プランクの公式など、朝永振一郎の「量子力学」にあるような説明の流れを採用するが、それはまあほとんど定跡であろう。ただ近藤さんはきちんと数式を掲げ、それを使って説明することを怠らない。それによって説明が上滑りになることを防いでいる。ただ、数式を追って読むと疲れるが、そもそもが疲れないで量子力学を理解する方法なんてない。

さらになるほど、と思ったのは、プランク定数についてさまざまな側面から丁寧に説明されていることである。プランク長さ、プランク時間、プランク質量、プランク電荷、プランク温度など、私は他の本であまりみかけたことがない。まあ単に私が不勉強なだけかもしれないが。

そこから第2章の「前期量子論」に入って光の二重性に言及するのも定法であるが、ここまでも、数式を駆使しつつ、登場人物の逸話などが織り込まれていて、飽きさせないようになっている。そしてさらに原子モデルの説明に入る。ここではボーア、そしてド・ブロイが引用され、次の、この本の白眉である第3章「数学的定式化」に進む。

「数学的定式化」ではなんと、行列の説明から始まる。それはハイゼンベルクが行列の概念を使って量子力学の方程式を記述したからだが、それにしてもこのような迂遠さを私は好む。そして行列で記述された量子力学の方程式、すなわち行列力学の扱いの困難さに言及したあと、いよいよ真打ちのシュレーディンガー方程式の説明に入る。

シュレーディンガー方程式の説明では偏微分、解析力学にも言及されてくる。すると最早、大学で理系の勉強した人でないとついていくのはかなり困難なのではあるまいか。それは著者の年齢に鑑みると、著者がいかに早熟かということの例証でもあるのだが。

ここでコメントすると、この本は、まあこんなもんだろうと説明をすっとばしている箇所がほとんどない。シュレーディンガー方程式の解釈の困難、ボーア解釈、シュレーディンガーじしんの当惑、演算子と運動量の対応など、丁寧にカバーされている。シュレーディンガー方程式をニュートン方程式に帰着させるエーレンフェストの定理、マックス・ボルンの異端解釈まで言及されている。あと、シュレーディンガーの猫の哲学的?解釈も説明される。まあ猫好きとしては、猫を殺すのはやめてほしいのだが。

そこから、ハイゼンベルクの不確定性原理、ボーアの相補性原理も説明される。なお、ハイゼンベルクの不確定性原理には不確定性原理、破れるみたいな議論もあるのだが、流石にそれをこの本に期待するのはマニアックすぎるというものである。

そこから、現在でもホットな話題である量子力学の解釈の話題に触れ、ついに相対論的量子力学の方程式である、ディラックの方程式に言及される。ここまでくると、専門の物理の学生以外まず勉強しないだろう。物理学科の落ちこぼれ学生だった私も、ディラックの方程式なんてまったく分からないので、今更のように勉強しなくちゃ、とおもう。

ここまで相対論といっても、特殊相対性理論しかでてこなかったので、いよいよ一般相対性理論も登場して、"theory of everything"を謳うなら、量子力学と一般相対性理論とを融合させるべしみたいな議論になってきたが、このあたりどうしても端切れが悪い。しかし、どんな物理学者がそのあたりを歯切れよく説明できるのだろうか。大栗博司博士ならできるだろう、きっと。

この本がここで終わるのかと思ったら、なんと量子コンピュータや量子テレポーテーションの説明もある。この本はいい意味で、あくまでも貪欲なのである。最近の旬の量子アニーリングについては言及がないが、それはたんにこの話題が新しすぎるだけだろう。

それだけではない、この本には補足説明として、パウリの排他率、経路積分法、スピノール、クライン・仁科の公式、第二量子化まで言及される。まさに、入門書から専門書橋渡しする中間書になっていると思われる。

あと、私が懸念するのは、著者の近藤さんの将来である。12歳にしてこれほどの本をまとめ上げるのだから、近藤さんが大秀才であるのは間違いない。私はつい、ギムナジウムのときに一般相対論の論文を書いていたほどの早熟の天才だったパウリを想起するのだが、今後近藤さんが学びつつ、次第にパウリのようなオリジナルな業績を挙げるようになってほしいものである。そのためにはある時点で、いままで習ったことの大部分をアンラーニングする機会も必要かもしれない。

2体問題

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「惑星の軌道」に続き、2体問題を常微分方程式で記述してみることにした。惑星の軌道のところで論じた軌道の発散あるいは衝突の問題は当然に2体問題にもついて回り、安定した軌道を得るためには初期位置と速度、そして質量を注意深く選ぶ必要がある。

ここでいう安定した軌道とは、2体問題の各々の物体がそれぞれ、一定の楕円軌道上を動き続けるということだと定義する。すると、安定した軌道を達成するためには、2つの物体の質量と速度を掛けた運動量ベクトルの成分が、それぞれゼロであるということが必要条件となる。

それが十分条件でないのは、2つの物体の間の距離に対して初期速度が小さすぎると、2つの物体が衝突してしまうか、引力が小さすぎて互いに無限遠に離れてしまう。なので、安定した軌道を実現するのはかなり難しい。安定した軌道を実現するための典型的なシナリオは次のようなものである。

  1. 2つの物体の質量を等しいとする。
  2. 2つの物体の初期位置の座標をそれぞれ、(-r,0),(r,0)とする。また、2つの物体の初期速度をそれぞれ(0,-v),(0,v)とする。そしてrとvの値を注意深く選ぶと、2つの物体は下記のように互いに交わる楕円軌道をとる。

このとき1つの物体の軌道を青、もう一つの物体の軌道を赤で表示すると、以下のとおりである。

それでは、これと同じ条件で、一方の物体の質量を1%だけ他方より重くしてみる。すると、運動量ベクトルの合成成分のバランスが崩れて、2つの楕円軌道は、下記のように少しずつ移動する。

別の条件として、質量を同じにして、一方の物体の初期速度に少しだけ追加の速度を与える。すると、下記のように追加の速度の分だけ楕円軌道は移動し始める。

このように2つの軌道が移動しても、各々おの軌道が所定の距離内にとどまるとき、これを準安定と呼ぶことにする。このように考察すると2体問題の安定性の議論は、そんなに自明ではない。例えば、互いに質量の異なる2体問題で準安定でなく安定な条件は存在するか、という命題が与えられる。これはおそらく成立しない。

とりあえず、2体問題の常微分方程式をルンゲクッタ法で解くためのブログラミングのソースコードを以下に示す。

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>
#include <math.h>
#pragma hdrstop

#include "Main.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
double fx(double x1, double y1, double x2, double y2);
double fy(double x1, double y1, double x2, double y2);
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
	: TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Close1Click(TObject *Sender)
{

 Close();
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Run1Click(TObject *Sender)
{
const double H = 0.00001;  // 刻み
double x1,y1,u1,v1;     // x1,y1は座標値で、u1,v1はその速度のxとy成分
double x2,y2,u2,v2;     // x2,y2は座標値で、u2,v2はその速度のxとy成分
double a1,a2,a3,a4;  // dx1
double b1,b2,b3,b4;  // dy1
double c1,c2,c3,c4;  // du1
double d1,d2,d3,d4;  // dv1
double e1,e2,e3,e4;  // dx2
double f1,f2,f3,f4;  // dy2
double g1,g2,g3,g4;  // du2
double h1,h2,h3,h4;  // dv2
double m1, m2;       // 質量
double px, py;
int N = 0;           // 繰り返し回数
m1 = 1.1;
m2 = 1.0;

// 位置と速度の初期値
x1 = 3.2;  y1 = 0.0; u1 = 0.01; v1 = 0.2;
x2 = -3.0;  y2 = 0.0; u2 = 0.0; v2 = -0.21;

while ( N++ < 100000000 )        {
 a1 = u1;
 b1 = v1;
 c1 = -m1*fx(x1,y1,x2,y2);
 d1 = -m1*fy(x1,y1,x2,y2);
 e1 = u2;
 f1 = v2;
 g1 = -m2*fx(x2,y2,x1,y1);
 h1 = -m2*fy(x2,y2,x1,y1);
 a2 = u1 + H*c1/2.0;
 b2 = v1 + H*d1/2.0;
 c2 = -m1*fx(x1+H*a1/2.0,y1+H*b1/2.0,x2+H*e1/2.0,y2+H*f1/2.0);
 d2 = -m1*fy(x1+H*a1/2.0,y1+H*b1/2.0,x2+H*e1/2.0,y2+H*f1/2.0);
 e2 = u2 + H*g1/2.0;
 f2 = v2 + H*h1/2.0;
 g2 = -m2*fx(x2+H*e1/2.0,y2+H*f1/2.0,x1+H*a1/2.0,y1+H*b1/2.0);
 h2 = -m2*fy(x2+H*e1/2.0,y2+H*f1/2.0,x1+H*a1/2.0,y1+H*b1/2.0);
 a3 = u1 + H*c2/2.0;
 b3 = v1 + H*d2/2.0;
 c3 = -m1*fx(x1+H*a2/2.0,y1+H*b2/2.0,x2+H*e2/2.0,y2+H*f2/2.0);
 d3 = -m1*fy(x1+H*a2/2.0,y1+H*b2/2.0,x2+H*e2/2.0,y2+H*f2/2.0);
 e3 = u2 + H*g2/2.0;
 f3 = v2 + H*h2/2.0;
 g3 = -m2*fx(x2+H*e2/2.0,y2+H*f2/2.0,x1+H*a2/2.0,y1+H*b2/2.0);
 h3 = -m2*fy(x2+H*e2/2.0,y2+H*f2/2.0,x1+H*a2/2.0,y1+H*b2/2.0);
 a4 = u1 + H*c3;
 b4 = v1 + H*d3;
 c4 = -m1*fx(x1+H*a3,y1+H*b3,x2+H*e3,y2+H*f3);
 d4 = -m1*fy(x1+H*a3,y1+H*b3,x2+H*e3,y2+H*f3);
 e4 = u2 + H*g3;
 f4 = v2 + H*h3;
 g4 = -m2*fx(x2+H*e3,y2+H*f3,x1+H*a3,y1+H*b3);
 h4 = -m2*fy(x2+H*e3,y2+H*f3,x1+H*a3,y1+H*b3);
 x1 += H*(a1 + 2.0*a2 + 2.0*a3 + a4)/6.0;
 y1 += H*(b1 + 2.0*b2 + 2.0*b3 + b4)/6.0;
 u1 += H*(c1 + 2.0*c2 + 2.0*c3 + c4)/6.0;
 v1 += H*(d1 + 2.0*d2 + 2.0*d3 + d4)/6.0;
 x2 += H*(e1 + 2.0*e2 + 2.0*e3 + e4)/6.0;
 y2 += H*(f1 + 2.0*f2 + 2.0*f3 + f4)/6.0;
 u2 += H*(g1 + 2.0*g2 + 2.0*g3 + g4)/6.0;
 v2 += H*(h1 + 2.0*h2 + 2.0*h3 + h4)/6.0;
 px = 290.0 + 70.0*x1;
 py = 290.0 - 70.0*y1;
 Canvas->Pixels[px][py] = clRed;
 px = 290.0 + 70.0*x2;
 py = 290.0 - 70.0*y2;
 Canvas->Pixels[px][py] = clBlue;
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
double fx(double x1, double y1, double x2, double y2) {
 double r,R;
 r = (x1 - x2)*(x1 - x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2);
 R = r * sqrt(r);
 return (x1 - x2)/R;
}

double fy(double x1, double y1, double x2, double y2) {
 double r,R;
 r = (x1 - x2)*(x1 - x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2);
 R = r * sqrt(r);
 return (y1 - y2)/R;
}

惑星の軌道

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もう30年以上前、20台後半でまだ独身の頃、シャープのMZという8ビット・パソコンを買い、BASICでプログラムを書いて、夜な夜な楽しく遊んでいたのだが、そのとき書いていたプログラムの中に、惑星の軌道計算があった。

惑星の軌道計算といっても、なんのことはない、ニュートンの法則の逆二乗則で力学の運動方程式を記述し、それを例によってルンゲ・クッタで数値計算するという素朴なものである。

それでも、惑星2つが引き合うという連星の二体問題を数値計算してプロットした結果を知り合いに見せたら、辛口で滅多に他人を褒めないその知り合いも、あまりこういうのは見たことがないので面白いと褒めてくれたので、うれしくなったのを覚えている。

それで気を良くして、ポアンカレによれば積分が存在しない、すなわち解析的に解けないといわれている三体問題をプロットしようとしたら、プログラムにバグがあるようでどうもうまくいかない。それでその後諦めていたのだが、最近、常微分方程式の数値解法に再び馴染んできたのをきっかけに、また再チャレンジしてみたくなった。

といっても、いきなり三体問題は荷が重いので、一体問題⇒二体問題⇒三体問題と進めていくことにした。一体問題というのはあまり聞きなれないが、私が意図したのは、中心に太陽があって、その周りを単一の惑星が周回する、というものである。しかしウェブで調べてみると、一体問題とは、宇宙にたった一つの星がある場合のことらしくて、するとニュートン力学のパラダイムでは、静止しているか等速直線運動するだけなので、数値計算もなにもあったものではない。

で、当初予定していたこのブログのタイトルを、一体問題から惑星の軌道という曖昧な言い方に変えて、中心に太陽があって、その周りを単一の惑星が周回する、という場合の数値計算をしてみることにした。

さて、それは要するに、太陽の周りに惑星が楕円軌道をとるだけだから楽勝と思っていたら、なかなか綾があった。すなわち、惑星を太陽の引力を受けて運動するようにするには、惑星の太陽からの距離と、太陽に対して相対的な速度を与えるのだが、ヨハン・ベルヌーイは、その場合惑星がとりえる軌道は、楕円、放物線、双曲線のどれかであることを見出した。

要するに、注意深く初期速度と位置を与えないと、軌道は放物線または双曲線となって、無限遠に「いっちゃう」のである。それで最初、適当に初期速度と位置与えて、軌道が発散して何度も困ってしまった。

さらに、自明なのでヨハン・ベルヌーイが指摘しなかったことがある。それはあまりに太陽の近くに初期位置を配置するか、初期速度が小さすぎると、惑星が太陽に引っ張られすぎて激突してしまうのである。これはこれでゲームセットである。

そうやってなんとか楕円軌道を得たのが、下記のプログラムで、(x,y,u,v) = (3.0, 2.0, 0.43. 0.01)の場合である。ここで、太陽を原点としたとき、xは惑星の初期x座標、yは惑星の初期y座標、uは初期速度のx方向成分、uは初期速度のy方向成分である。

その軌道は、以下のとおりだった。なお、下手なマンガみたいだが、太陽を赤い小円で示した。

これだと近日点が近すぎて、もし惑星が地球だと人類が焼け死んで滅びるかもしれない。そこで、妥当な距離の近日点になるように、初期位置と初期速度を、(x,y,u,v) = (3.0, 0.0, -0.1. 0.5)に変更してみた。すると軌道は、以下のとおりとなった。

このプログラムのソースコードを例によって以下に示す。それにしても、惑星や太陽の質量や重力定数やその他物理単位の次元を全く無視して適当に微分方程式を解くってどうよ、とつい自己突っ込みするのだった。

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>
#include <math.h>
#pragma hdrstop

#include "Main.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
double fx(double x, double y);
double fy(double x, double y);
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
	: TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Close1Click(TObject *Sender)
{

 Close();
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Run1Click(TObject *Sender)
{
const double H = 0.00001;  // 刻み
double x,y,u,v;     // x,yは座標値で、u,vはその速度のxとy成分
double a1,a2,a3,a4;  // dx
double b1,b2,b3,b4;  // dy
double c1,c2,c3,c4;  // du
double d1,d2,d3,d4;  // dv
double px, py;
int N = 0;           // 繰り返し回数

// 位置と速度の初期値
x = 3.0;  y = 0.0; u = -0.1; v = 0.5;

// 原点を描く
Canvas->Brush->Color = clRed;
Canvas->Ellipse(280,280,300,300);

while ( N++ < 10000000 )        {
 a1 = u;
 b1 = v;
 c1 = -fx(x,y);
 d1 = -fy(x,y);
 a2 = u + H*c1/2.0;
 b2 = v + H*d1/2.0;
 c2 = -fx(x+H*a1/2.0,y+H*b1/2.0);
 d2 = -fy(x+H*a1/2.0,y+H*b1/2.0);
 a3 = u + H*c2/2.0;
 b3 = v + H*d2/2.0;
 c3 = -fx(x+H*a2/2.0,y+H*b2/2.0);
 d3 = -fy(x+H*a2/2.0,y+H*b2/2.0);
 a4 = u + H*c3;
 b4 = v + H*d3;
 c4 = -fx(x+H*a3,y+H*b3);
 d4 = -fy(x+H*a3,y+H*b3);
 x += H*(a1 + 2.0*a2 + 2.0*a3 + a4)/6.0;
 y += H*(b1 + 2.0*b2 + 2.0*b3 + b4)/6.0;
 u += H*(c1 + 2.0*c2 + 2.0*c3 + c4)/6.0;
 v += H*(d1 + 2.0*d2 + 2.0*d3 + d4)/6.0;
 px = 290.0 + 70.0*x;
 py = 290.0 - 70.0*y;
 Canvas->Pixels[px][py] = clBlack;
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
double fx(double x, double y) {
 double r,R;
 r = x*x + y*y;
 R = r * sqrt(r);
 return x/R;
}

double fy(double x, double y) {
 double r,R;
 r = x*x + y*y;
 R = r * sqrt(r);
 return y/R;
}

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